第10章波动习题解答 73 第10章波动习题解答 10.5.8一平面简谐波自左 x/m 合振动位移为零（即静止）的条件是：两波在这些点引起的分 向右传播，在波射线上某质元 0.2 振动的相位差△Φ=(ot+要x-5.5π)-(ot-受x)=(2n+1)π， A的振动曲线如图示。后来此 波在前进方向上遇一障碍物而 0 将入=8代入并整理，可得x=4n+13,n=0,±1，±2，±3…，由于 反射，并与该入射平面简谐波 0≤x≤20，.取n=-3,-2,-1,0,1,对应的x=1,5,9,13,17m 叠加而成驻波，相邻波节波腹距离为3m,以质元A的平衡位置为o-y 轴原点，写出该入射波波方程。 10.5.10一提琴弦长50cm,两端固定，不用手指按时，发出的声 解：，相邻波节波腹间距离是入4=3，∴.入=12mk=2π/入=π6： 音是A调：440Hz,若欲发出C调：528Hz,手指应按在何处？ 从A点振动曲线可知：A=0.2m,T=2s0=2πT=π：设A点振动方 解：基频决定音调，取l,片=方，y=立√，所以， 程为x=0.2c0π1+p,,=0.5s时，x=-0.2,-02-=0.2cos(Ξ+p) 受+0=π，p=受.综合以上考虑，入射波波方程应为 ×50cm=41.67cm,即手按在41.67cm 528 x=0.2cos(@t-ky+)=0.2cos(t+) 可发出C调音 10.5.11张紧的提琴弦能发出某一种音调，若欲使它发生的频率 10.5.9同一媒质中有两个平面简谐波波源作同频率、同方向、 比原来提高一倍，问弦内张力应增加多少倍？ 同振幅的振动。两波相对传播，波长8m,波射线上A、B两点相距 20m.一波在A处为波峰时，另一波在B处相位为-π2.求AB连线上 解：v=√店，∴F=,T=()2T=22T=4T,即弦内张力 因干涉而静止的各点的位置 应增加3倍。 解：以A点为坐标原点， 建立图示坐标系，x表示各质 m B x 10.7.1火车以速率v驶过一个在车站上静止的观察者，火车发出 元的平衡位置，y表示各质元 的汽笛声频率为￡求观察者听到的声音的频率的变化。设声速是v。 的振动位移。 解：根据多普勒公式，当火车驶进车站时，观察者听到的频率 设：片=Acos(mt-瓷x),2=Ac0s(ot+受x+p),据题 片=点∫：当火车驶出车站时，观察者听到的频率2=点∫。 意，波1使A处(x=0)质元位移最大时，波2使B处x=20)质元的振 动相位为-π2，即0时，受×20+0=-号，∴p=-号-g=-5.5π 10.7.2两个观察者A和B携带频率均为1000Hz声源。如果A ·y3=Ac0s(ot+受x-5.5π) 静止，而B以10m/s的速率向A运动，那么A和B听到的拍是多少？第10章波动习题解答 73 第10章波动习题解答 10.5.8 一平面简谐波自左 x/m 向右传播，在波射线上某质元 0.2 A 的振动曲线如图示。后来此 0 1 2 3 4 5 t/s 波在前进方向上遇一障碍物而 -0.2 反射，并与该入射平面简谐波 叠加而成驻波，相邻波节波腹距离为 3m,以质元 A 的平衡位置为 o-y 轴原点，写出该入射波波方程。 解：∵相邻波节波腹间距离是λ/4=3,∴λ=12m,k=2π/λ=π/6； 从 A 点振动曲线可知：A=0.2m,T=2s,ω=2π/T=π；设 A 点振动方 程为 x = 0.2cos( t +), ∵t=0.5s 时，x= - 0.2,∴- 0.2=0.2cos( ) 2   + 2 2 ,   + =  = .综合以上考虑，入射波波方程应为 0.2cos( ) 0.2cos( ) 6 2   x = t − k y + = t − y + 10.5.9 同一媒质中有两个平面简谐波波源作同频率、同方向、 同振幅的振动。两波相对传播，波长 8m.波射线上 A、B 两点相距 20m.一波在 A 处为波峰时，另一波在 B 处相位为-π/2.求 AB 连线上 因干涉而静止的各点的位置 解：以 A 点为坐标原点， y 建立图示坐标系，x 表示各质 A B x 元的平衡位置，y 表示各质元 的振动位移。 设： cos( ), cos( ) 2 2 2 1        y = A t − x y = A t + x + ，据题 意，波 1 使 A 处(x=0)质元位移最大时，波 2 使 B 处(x=20)质元的振 动相位为-π/2,即t=0时，         20 , 5.5 8 40 2 2 2  + = −  = − − = − ∴ cos( 5.5 ) 2 2     y = A t + x − . 合振动位移为零（即静止）的条件是：两波在这些点引起的分 振动的相位差         ( 5.5 ) ( ) (2 1) 2 2  = t + x − − t − x = n + ， 将λ=8 代入并整理，可得 x = 4n+13, n = 0, ±1, ±2, ±3…. 由于 0≤x≤20,∴取 n = -3, -2, -1, 0, 1, 对应的 x = 1, 5, 9, 13, 17m. 10.5.10 一提琴弦长 50cm,两端固定，不用手指按时，发出的声 音是 A 调：440Hz，若欲发出 C 调：528Hz，手指应按在何处？ 解：基频决定音调，取 n=1， , ' , 2 ' 1 2 1 1 1   T l T l v = v = 所以， l cm cm v v l l l v v 50 41.67 528 440 ' , ' ' ' 1 1 1 1 = = =  = ，即手按在 41.67cm 可发出 C 调音 10.5.11 张紧的提琴弦能发出某一种音调，若欲使它发生的频率 比原来提高一倍，问弦内张力应增加多少倍？ 解： v T T T T v v v v T T T l , , ' ( ) 2 4 ' ' ' 2 2 2 1 2 2 =  = = = =   ，即弦内张力 应增加 3 倍。 10.7.1 火车以速率 v 驶过一个在车站上静止的观察者，火车发出 的汽笛声频率为 f.求观察者听到的声音的频率的变化。设声速是 v0. 解：根据多普勒公式，当火车驶进车站时，观察者听到的频率 v f V V V − = 0 0 1 ；当火车驶出车站时，观察者听到的频率 v f V V V + = 0 0 2 。 10.7.2 两个观察者 A 和 B 携带频率均为 1000Hz 声源。如果 A 静止，而 B 以 10m/s 的速率向 A 运动，那么 A 和 B 听到的拍是多少？ 20m