AX2=-sinaX1 +cosa X2=(X1, X2) COs O 将X1,X2扩为R的标准正交基X1,X2,…,Xn,则 COS O A(X1,x2,…,Xn)=(X1,x2…,xn)((sima 其中C是2×(n-2)实矩阵,A1是n-2阶实方阵.令Q1=(X1,X2,……,Xn),则Q1是正交阵且 -SIn o COS Ok 0 因为Q1,A为正交阵,所以B为正交阵故 ( cos a cos a -sIn o E2 0 SIn o CoS a SIn Q COS o A sin a cosa ) sis a cosn +CC=E2,A2C=0,A242=En-2 故A2是正交阵,且C=0,即 由归纳假设,存在n-2阶正交矩阵Q2,使得 Q2A2Q2= diag(Er, -Es COs a1 sIn a1 oS aI -sIna sIn a1 COs C1 E2 0 令Q=Q1(002),则Q为正交阵且 Q+1=d(0a0c0),E-E,(01.m0)…(amm) 定理8.4.3按照线性变换的语言来说,就是 设φ是n维欧氏空间V的正交变换,则存在一个标准正交基,使得φ在此基下的矩阵是 diag(E,一E COs a1 sIn a1 sIn aI COs al 其中r+s+2l=n 习题AX2 = − sinαX1 + cos αX2 = (X1, X2)  − sinα cos α  . Q X1, X2 d% R n 'Æ^TRH X1, X2, · · · , Xn, M A(X1, X2, · · · , Xn) = (X1, X2, · · · , Xn)    cos α − sinα sin α cos α  C 0 A2   , ~[ C  2 × (n − 2) \R A1  n − 2 U3Rn Q1 = (X1, X2, · · · , Xn), M Q1 TRR
Q T 1 AQ1 =    cos α − sinα sin α cos α  C 0 A2   = B. % Q1, A %TRR= B %TRR>    cos α − sinα sin α cos α  C O A2      cos α − sinα sin α cos α T 0 C T AT 2   =  E2 0 0 En−2  . =  cos α − sin α sinα cos α   cos α − sinα sinα cos α T + CCT = E2, A2C T = 0, A2A T 2 = En−2. > A2 TRR
C = 0, K B =    cos α − sinα sin α cos α  0 0 A2   . DyMÆL n − 2 UTR\R Q2, & Q −1 2 A2Q2 = diag(Er, −Es,  cos α1 − sinα1 sin α1 cos α1  , · · · ,  cos αl − sinαl sin αl cos αl  ). n Q = Q1  E2 0 0 Q2  , M Q %TRR
Q −1AQ = diag( cos α − sinα sin α cos α  , Er, −Es,  cos α1 − sin α1 sinα1 cos α1  , · · · ,  cos αl − sinαl sin αl cos αl  ). *g 8.4.3 P/3 G'I5e[ Æ ϕ  n &|bO V 'TR GML:8Æ^TRH& ϕ LH,'\R diag(Er, −Es,  cos α1 − sinα1 sin α1 cos α1  , · · · ,  cos αl − sinαl sin αl cos αl  ), ~[ r + s + 2l = n. nm 4