因为A为正交阵,因此特征值模长为1,即a2+b2=1,可设a=cos6,b=-sin6.这样 Aa=aa-bB=(a, B) cos e AB= bo+aB=(a, B) A=(0(c60) 定理8.43设A为n阶正交阵,则存在n阶正交阵Q,使 Q2-AQ=QAQ=diag(Er, -Es COs a1 -sIn al cos al -sIn al sIn a1 sIn o COS aI 其中r+8+2l=n 证明对阶数用数学归纳法 当n=1时,显然成立.当n=2时,由§8.2习题4,结论成立.假设当阶数<n时命题成立.讨论 A的阶数为n的情况 (1)若A有一个实特征根Ao,则取其单位特征向量X1,扩为R的标准正交基X1,X2,……,Xn,从 这里A1是n-1阶方阵,B∈R-1.令Q1=(X1,X2,…,Xn),则 Q1 AQ B 因为Q-1=QT,所以A-1=AT.进而B-1=BT,即B是正交阵,故 BBT Xo 0 A2+BTB BTAA 10 得+BB=1,A141=E.而1=1,因此B=0,A141=E.即 B 其中A1是正交阵,由归纳假设,存在n-1阶正交阵Q2,使 Q2 A1Q2-diag(Ep -, sin a cos a COs QI SInaI Cosal 令Q=a1(1 Q2),则Q为n阶正交阵,且 Q-AQ=diag(o, Ep, -Ea. cos a1 -sin al COS Ql al sin a1 COS C1 sin al 因为A0=±1,命题成立 (2)若A无实特征根设A=a+b是其一个复特征根,a+Bi为相应特征向量,则由引理8.4.1,a 与B正交,且|a2=12.因|=1,故可设A=cosa- 2 sIna.取a,B的单位化向量X1,X2,则有 AX1=cosa X1+sina X2=(X1, X2)% A %TRRSWw% 1, K a 2 + b 2 = 1, `Æ a = cos θ, b = − sin θ. Q7 Aα = aα − bβ = (α, β)  cos θ sin θ  , Aβ = bα + aβ = (α, β)  − sin θ cos θ  , A(α, β) = (α, β)  cos θ − sin θ sin θ cos θ  . fj 8.4.3 Æ A % n UTRRML n UTRR Q,  Q −1AQ = Q T AQ = diag(Er, −Es,  cos α1 − sinα1 sin α1 cos α1  , · · · ,  cos αl − sin αl sin αl cos αl  ) ~[ r + s + 2l = n. sk /UC4y1 $ n = 1 .i$ n = 2 D §8.2 * 4, VoiMÆ$U < n v io A 'U% n '  (1) A E:8S: λ0, M~"'S1k X1, d% R n 'Æ^TRH X1, X2, · · · , Xn,  0 A(X1, X2, · · · , Xn) = (X1, X2, · · · , Xn)  λ0 β T 0 A1  . Qh A1  n − 1 U3R β ∈ R n−1 . n Q1 = (X1, X2, · · · , Xn), M Q −1 1 AQ1 =  λ0 β T 0 A1  = B. % Q−1 = QT , = A−1 = AT . X0 B−1 = BT , K B TRR> BBT =  λ0 β T 0 A1   λ0 0 β AT 1  =  λ 2 0 + β T β βT AT 1 A1β A1AT 1  =  1 0 0 En−1  & λ 2 0 + β T β = 1, A1AT 1 = E. 0 λ 2 0 = 1,  β = 0, A1AT 1 = E. K B =  λ0 0 0 A1  , ~[ A1 TRRDyMÆL n − 1 UTRR Q2,  Q −1 2 A1Q2 = diag(Ep, −Eq,  cos α1 − sinα1 sin α1 cos α1  , · · · ,  cos αl − sinαl sin αl cos αl  ) n Q = Q1  1 Q2  , M Q % n UTRR
Q −1AQ = diag(λ0, Ep, −Eq,  cos α1 − sinα1 sin α1 cos α1  , · · · ,  cos αl − sinαl sin αl cos αl  ). % λ0 = ±1, v i (2) A )S:Æ λ = a + bi ~:86S: α + βi %0BS1kMDAg 8.4.1, α H β TR
|α| 2 = |β| 2 .  |λ| = 1, >`Æ λ = cos α − isinα.  α, β '"'F1k X1, X2, ME AX1 = cos αX1 + sinαX2 = (X1, X2)  cos α sin α  , 3