(4)→(3):设51,52,…,5n是V的一个标准正交基, g(51,2,……,5n)=(51,52,…,5n)Q 因为Q是正交矩阵,所以y(51),y(52),…,y(5n)也是V的标准正交基 (3)→(1):设51,52,…,5n是V的一个标准正交基,y(51),y(52),…,(En)也是V的标准正 交基对任意a=a151+a22+…+an5n,B=b151+b22+…+bn5n∈V,有(y(a),y(6) (a1y(51)+a2y(52)+…+any(5n),b1y(51)+b2(52)+…+bny(5n)=a1b1+a2b2+…+anbn (a11+a2E2+…+anEn,b11+b2=2+…+bnn)=(a,B) 定理8.4.2设n阶实矩阵A是正交阵,则 (1)detA=±1; (2)A的特征值的模长为1 证明(1)显然因为AA=E,两边取行列式即得 (2)设A是A的特征值,X是属于A的特征向量,则AX=AX.两边同取共轭转置,于是 XAT=XX,所以 ⅹAAX=XXAX. 所以 XX=AX(XX 因为X≠0,所以XX≠0.因此,Xλ=1.即|=1 引理8.4.1设A为n阶正交阵,A=a+b为A的一个复特征值(b≠0),X=a+B为对应 的特征向量,其中a,B∈R.则a和β正交且a|= 证明因为A(a+6i)=(a+bi)(a+Bi),所以Aa=aa-b6,AB=ba+a3.从而 a2=(a,a)=(Aa,Aa)=a2|a2+b2112-2ab( B2=(8,B)=(A8,AB)=b2|a2+a212+2ab(a 由(1)-(2),得 (a2-b2-1)|a2+(b2-a2+1)2-4ab(a,B)=0 而 (a,B)=(Aa,AB)=(a2-b2)(a,B)+ab(a2-1812) 由(3),(4),得 a2-b2-1)(|a|2-12)-4ab(a,B)=0 ab(al2-162)+(a2-b2-1)(a,B)=0 其可视为关于(a2-182)和(a,B)的线性方程组.由定理84.2知a2+b2=1,故 1/=(a2 1)2+4a2b2=4b+4a2b=4b(b2+a2)=4b2≠0 因此方程组只有零解,即la2=1P2,且(a,B)=0.(4)⇒ (3): Æ ξ1, ξ2, · · · , ξn  V ':8Æ^TRH ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)Q. % Q TR\R= ϕ(ξ1), ϕ(ξ2), · · · , ϕ(ξn) 9 V 'Æ^TRH (3) ⇒ (1): Æ ξ1, ξ2, · · · , ξn  V ':8Æ^TRH ϕ(ξ1), ϕ(ξ2), · · · , ϕ(ξn) 9 V 'Æ^T RH/> α = a1ξ1 + a2ξ2 + · · · + anξn, β = b1ξ1 + b2ξ2 + · · · + bnξn ∈ V , E (ϕ(α), ϕ(β)) = (a1ϕ(ξ1) +a2ϕ(ξ2) +· · ·+anϕ(ξn), b1ϕ(ξ1) +b2ϕ(ξ2) +· · ·+bnϕ(ξn)) = a1b1 +a2b2 +· · ·+anbn = (a1ε1 + a2ε2 + · · · + anεn, b1ε1 + b2ε2 + · · · + bnεn) = (α, β). ✷ fj 8.4.2 Æ n U\R A TRRM (1) detA = ±1; (2) A 'SW'w% 1. sk (1) .% AAT = E, j2lK& (2) Æ λ  A 'SW X G λ 'S1kM AX = λX. j"<d℄ZG XAT = λX T , = XAT AX = λX T λX, = X T X = λλ(X T X). % X 6= 0, = X T X 6= 0.  λλ = 1. K |λ| = 1. ✷ pj 8.4.1 Æ A % n UTRR λ = a + bi % A ':86SW￾ b 6= 0
X = α + βi %/B 'S1k~[ α, β ∈ R n . M α C β TR
|α| = |β|. sk % A(α + βi) = (a + bi)(α + βi), = Aα = aα − bβ, Aβ = bα + aβ. 0 |α| 2 = (α, α) = (Aα, Aα) = a 2 |α| 2 + b 2 |β| 2 − 2ab(α, β) (1) |β| 2 = (β, β) = (Aβ, Aβ) = b 2 |α| 2 + a 2 |β| 2 + 2ab(α, β) (2) D (1) − (2), & (a 2 − b 2 − 1)|α| 2 + (b 2 − a 2 + 1)|β| 2 − 4ab(α, β) = 0 (3) 0 (α, β) = (Aα, Aβ) = (a 2 − b 2 )(α, β) + ab(|α| 2 − |β| 2 ) (4) D (3),(4), &  (a 2 − b 2 − 1)(|α| 2 − |β| 2 ) − 4ab(α, β) = 0 ab(|α| 2 − |β| 2 ) + (a 2 − b 2 − 1)(α, β) = 0 ~`%?G (|α| 2 − |β| 2 ) C (α, β) '/33aD*g 8.4.2 V a 2 + b 2 = 1, >     a 2 − b 2 − 1 −4ab ab a2 − b 2 − 1     = (a 2 − b 2 − 1)2 + 4a 2 b 2 = 4b 4 + 4a 2 b 2 = 4b 2 (b 2 + a 2 ) = 4b 2 6= 0, 3aYEmWK |α| 2 = |β| 2 ,
(α, β) = 0. ✷ 2