厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: dpko. xmu.edu. cn 第八章欧氏空间 §84正交变换,正交矩阵 定义8.4.1设φ是n维欧氏空间V的线性变换,如果φ保持内积不变,即对于任意的a,B∈V,有 (y(a),(6)=(a,B), 则称φ是正交变换 下面的定理给出n维欧氏空间V的正交变换的不同角度的刻画,从中也看出,欧氏空间Ⅴ的线性变 换φ是正交变换的充分必要条件是φ是V作为欧氏空间的自同构 定理8.41设φ是n维欧氏空间V的线性变换,则下列条件等价 (2)φ保持长度不变,即对于任意的a∈V,有|p(a)=la (3)φ将V的标准正交基变为标准正交基 (4)在V的标准正交基下的矩阵是正交阵 证明(1)→(2):对于任意的a∈V,有 (a),p(a)=(a,a), 两边开平方,得到|y(a)=|a (2)→(1):对于任意的a,B∈V (pla),p(a))=( ((6),g(6)=(B,B) ((o+B),(o+B))=(a+B, a+B) 将后面等式展开,得到(y(a),g(a)+(y(),()+2(9(a),9(B)=(a,a)+(,)+2(a,B).将前 两式代入,得到(y(a),yp()=(a,B) (1)→(3):设51,52,……·,5n是V的一个标准正交基.则 (y(),y(5)=(51,5)=6y,(i,j=1,2,…,m) 所以(51),g(52),…,g(5n)也是V的一个标准正交基 (3)→(4):设51,52,…,5n是V的一个标准正交基 g(51,52,…,5n)=(51,52,…,5n)Q 因为y(51),y(2),…,g(5n)也是V的标准正交基.所以Q是从标准正交基51,52,…,En到标准正交基 φ(51),g(￡2),…,g(En)的过渡矩阵,所以Q是正交矩阵-q 47(!T #O IP )X 59.77.1.116; Ju gdjpkc.xmu.edu.cn vt~ |}{x §8.4 ￾yuw￾yz fo 8.4.1 Æ ϕ  n &|bO V '/3 GA ϕ zI K/G>' α, β ∈ V , E (ϕ(α), ϕ(β)) = (α, β), M ϕ  rieh. ,s'*g9 n &|bO V 'TR G'"S,'aE[9_|bO V '/3 G ϕ TR G'48!P ϕ  V %|bO'`"= fj 8.4.1 Æ ϕ  n &|bO V '/3 GM,l!P(N (1) ϕ TR G (2) ϕ , K/G>' α ∈ V , E |ϕ(α)| = |α|; (3) ϕ Q V 'Æ^TRH %Æ^TRH (4) ϕ L V 'Æ^TRH,'\RTRR sk (1)⇒ (2): /G>' α ∈ V , E (ϕ(α), ϕ(α)) = (α, α), j^}3&% |ϕ(α)| = |α|. (2)⇒ (1): /G>' α, β ∈ V , (ϕ(α), ϕ(α)) = (α, α), (ϕ(β), ϕ(β)) = (β, β), (ϕ(α + β), ϕ(α + β)) = (α + β, α + β). QDs(N^&% (ϕ(α), ϕ(α)) + (ϕ(β), ϕ(β)) + 2(ϕ(α), ϕ(β)) = (α, α) + (β, β) + 2(α, β). Q￾ j! &% (ϕ(α), ϕ(β)) = (α, β). (1)⇒(3): Æ ξ1, ξ2, · · · , ξn  V ':8Æ^TRHM (ϕ(ξi), ϕ(ξj )) = (ξi , ξj ) = δij , (i, j = 1, 2, · · · , n). = ϕ(ξ1), ϕ(ξ2), · · · , ϕ(ξn) 9 V ':8Æ^TRH (3) ⇒ (4): Æ ξ1, ξ2, · · · , ξn  V ':8Æ^TRH ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)Q. % ϕ(ξ1), ϕ(ξ2), · · · , ϕ(ξn) 9 V 'Æ^TRH= Q Æ^TRH ξ1, ξ2, · · · , ξn %Æ^TRH ϕ(ξ1), ϕ(ξ2), · · · , ϕ(ξn) 'B-\R= Q TR\R 1