定义:设{n}是随机变量序列,如果存在常数列a12a2…“an,对vE>0,恒有 iP∑2-a2e}=0,则称!n}服从弱大数定律 切比雪夫大数定律 切比雪夫不等式 设随机变量ξ具有有限的期望与方差,则对ⅤE>0,有 E(5≥E)≤D5 或P(5-E(5)<E) D(5) 证明:我们就连续性随机变量的情况来证明。设ξ~p(x),则有 P(5-E(5)≥)= (x-E(4)2 P(x)d s P(x)de x-E(46 (x-e(5))p(r)de D(E) 该不等式表明:当D(5)很小时,P5-E(≥E)也很小,即5的取值偏离E()的可能性很小。 这再次说明方差是描述ξ取值分散程度的一个量。 切比雪夫不等式常用来求在随机变量分布未知,只知其期望和方差的情况下,事件 5-E引≥}概率的下限估计;同时,在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具 2.定理1(切比雪夫大数定律) 设{n}是相互独立的随机变量序列,每一随机变量都有有限的方差,且一致有界,即 存在常数C,使D()≤Ci=1,2,…,则对任意的E>0,有 m50m→E5(m→0 证明:由切比雪夫不等式知:VE>0,有 0P∑5-E()e≤D(∑5令 n2s2 n2822 定义： 设  n  是 随 机 变 量序 列 ， 如果 存 在 常数 列 a a an , , 1 2 ， 对   0 ，恒有 0 1 lim 1 =        −   = → n n i i n a n P ，则称  n  服从弱大数定律。 二、切比雪夫大数定律 1．切比雪夫不等式 设随机变量  具有有限的期望与方差，则对   0 ，有 2 ( ) ( ( ) )      D P − E   或 2 ( ) ( ( ) ) 1      D P − E   − 证明：我们就连续性随机变量的情况来证明。设  ~ ( ) p x ，则有 2 2 ( ) ( ) ( ( )) ( ( ) ) ( ) ( ) x E x E x E P E p x dx p x dx          −  −  − −  =    2 2 2 1 ( ) ( ( )) ( ) D x E p x dx     + −  − =  该不等式表明：当 D( ) 很小时， P( − E()  ) 也很小，即  的取值偏离 E( ) 的可能性很小。 这再次说明方差是描述  取值分散程度的一个量。 切比雪夫不等式常用来求在随机变量分布未知，只知其期望和方差的情况下，事件 { }    −  E 概率的下限估计；同时，在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具。 2．定理 1（切比雪夫大数定律） 设 { }n  是相互独立的随机变量序列，每一随机变量都有有限的方差，且一致有界，即 存在常数 C ， 使 D( i )  C i =1,2,  ，则对任意的   0 ， 有 0 1 1 1 1  −     = = = → E( ) } n n lim P{ n i n i i i n [即 1 1 1 1( ) ( ) n n p i i i i E n n n   = =   ⎯⎯→ →  ] 证明：由切比雪夫不等式知：   0, 有： ) 0( ) 1 ( 1 ( ) } 1 1 0 { 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1  −   =  = → →      = = = = n n C n nC n D n E D n n P n i n i i i n i n i i i         