该定理表明:当n很大时,随机变量5…5n的算术平均值∑5接近于其数学期望 E(∑5),这种接近是在概率意义下的接近。通俗的说,在定理的条件下,n个相互独立的 随机变量算术平均值,在n无限增加时将几乎变成一个常数。 推论:设51…5n是相互独立的随机变量,由相同的数学期望和方差 E(5)=,D(5)=σ21=12…,则VE>0.,有 lnP|∑5-川2}=0(即∑;以概率收敛于) 这个结论有很实际的意义:人们在进行精密测量时,为了减少随机误差,往往重复测量 多次,测得若干实测值5,…5,然后用其平均值∑5来代替 切比雪夫大数定律是最基本的大数定理,作为切比雪夫大数定律的特殊情形有 Bernoulli大数定理和辛钦大数定律。 三、 Berno大数定理 定理2:设以n是n重 Bernoulli试验中事件A出现的次数,而p(0<p<1)是事件A在每 次试验中出现的概率,则对E>0, 加mP ≥E}=0 n→an 证明:令5 第次试验中4出现 0第次试验中A不出现12,…,n 则5,5,5相互独立且点=1∑;,B()=P,E(∑:)=p,D5)=P(-)s n i=1,2,…,n 故由切比雪夫大数定律立刻推出贝努里大数定律。 或者,直接由切比雪夫不等式,对VE>0,有 0≤PP-P≥E}= n 5,=P/l-p) →03 该定理表明：当 n 很大时，随机变量   n , , 1  的算术平均值 1 1 n i n i  =  接近于其数学期望 1 1 ( ) n i i E n  =  ，这种接近是在概率意义下的接近。通俗的说，在定理的条件下， n 个相互独立的 随机变量算术平均值，在 n 无限增加时将几乎变成一个常数。 推 论 ： 设   n , , 1  是 相 互 独 立 的 随 机 变 量 ， 由 相 同 的 数 学 期 望 和 方 差 E( i ) = , D( i ) =  2 i = 1,2,  ，则   0, 有 } 0 1 lim { 1  −  = = →    n i i n n P （即 = n i i n 1 1  以概率收敛于  ） 这个结论有很实际的意义：人们在进行精密测量时，为了减少随机误差，往往重复测量 多次，测得若干实测值   n , , 1  ，然后用其平均值 = n i i n 1 1  来代替  。 切比雪夫大数定律是最基本的大数定理，作为切比雪夫大数定律的特殊情形有 Bernoulli 大数定理和辛钦大数定律。 三、Bernoulli 大数定理 定理 2：设  n 是 n 重 Bernoulli 试验中事件 A 出现的次数，而 p (0  p  1) 是事件 A 在每 次试验中出现的概率，则对   0， lim = 0       −  →   p n P n n 证明：令    = 第 次试验中 不出现 第 次试验中 出现 i A i A i 0 1  ，i＝1,2, , n 则 1 2 , , , n    相互独立且 n  n ＝ = n i i n 1 1  ， E( i ) = P ， 1 1 ( ) n i i E p n =  = ， 4 1 D( i ) = P(1− P)  ， i＝1,2, , n 故由切比雪夫大数定律立刻推出贝努里大数定律。 或者，直接由切比雪夫不等式，对   0 ，有                 =  −        −       = = n i i n i i n n E n P P n P 1 1 1 1 0 0 1 1 1 2 1 2 →  −  =         = n p( p ) n D n i i (n → )