从而V中必有标准正交基 利用标准正交基，向量的坐标可由内积方便地表示出来即 a=(6,a)6+(62,a)62+.(6n,a)6 此外，在标准正交基下，内积的表达式非常简单，设 a-2-2% (a,B)=∑xy=XY 定理1n维欧氏空间中任一正交向量组都能扩充成一组正交基 证明设，.，an是正交向量组，对n一m作数学归纳法 当n-m=0时，a,.,a己是一组正交基假设n-m=k时定理成立，即可以找到民，月使 ,.,a,月，.，成为一组正交基 现在看n-m=k+1的情形因为m<n,必有B不级被a,.,a线性表出.令 aml=B-k-k32-k 其中k,.,kn待定用C,与a1作内积得 (a,ai)=(B,a)-k(g,g),i=l,2,.,m. ，则有a.a=0=2,m由B的取法可知a0因4以是 正交向量组.又因为此时有n-(m+)=k+m+1-(m+)=k,由归纳假设.a,.,a可以扩充为一 正交基于是定理得证 下面给出由V的任意一组基求出V的标准正交基的方法 定理2由欧氏空间V的任意一组基6，6，都可求出V的一组标准正交基 证明设6，6n是一组基取乃=6，一般地，假定已求出，h,.,门m(m≤m).它们是正交向 量组由定理1它们可扩充成的一组正交基，m,。再将它们单位化，即得的一组标准 正交基。 例把 a4=(11,0,0,a2=1,0,1,0),a4=(-1,0,0,1).a4=(1-1,-1,) 从而 V 中必有标准正交基. 利用标准正交基，向量的坐标可由内积方便地表示出来.即 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , )           = + + n n (2) 此外，在标准正交基下，内积的表达式非常简单，设 1 1 , n n i i i i i i     x y = = = =   则 1 ( , ) n i i i   x y X Y = = =   (3) 定理 1 n 维欧氏空间中任一正交向量组都能扩充成一组正交基. 证明 设 1 , ,   m 是正交向量组，对 n m− 作数学归纳法. 当 n m− =0 时， 1 , ,   m 已是一组正交基.假设 n m k − = 时定理成立，即可以找到 1 , ,  k 使 1 1 , , , , ,     m k 成为一组正交基. 现在看 n m k − = +1 的情形.因为 m n  ，必有  不级被 1 , ,   m 线性表出.令 1 1 1 2 2 , m m m      k k k + = − − − − 其中 1 , , m k k 待定.用 i 与  m+1 作内积得 1 ( , ) ( , ) ( , ), 1,2, , . i m i i i i       + = − = k i m 取 ( , ) , ( , ) i i i i k     = 则有 1 ( , ) 0 ( 1,2, , ). i m   + = =i m 由  的取法可知 1 0.  m+  .因此 1 1 , ,   m+ 是 正交向量组.又因为此时有 n m k m m k − + = + + − + = ( 1) 1 ( 1) , 由归纳假设. 1 1 , ,   m+ 可以扩充为一 正交基.于是定理得证. 下面给出由 V 的任意一组基.求出 V 的标准正交基的方法. 定理 2 由欧氏空间 V 的任意一组基 1 , , n   都可求出 V 的一组标准正交基. 证明 设 1 , , n   是一组基.取 1 1   = , 一般地，假定已求出 1 2 , , , ( )    m m n  .它们是正交向 量组.由定理 1.它们可扩充成 V 的一组正交基. 1 , , , , .    m n 再将它们单位化，即得 V 的一组标准 正交基. 例 把 1 2 3 4     = = = − = − − (1,1,0,0), (1,0,1,0), ( 1,0,0,1), (1, 1, 1,1)