《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 (也可：对54-Bb0,M>0,当x>M时lf)-AK,取足够大的n可 使2”>M,此时应有B-AHf2”x)-AkA-B矛盾). 思考题设∫为定义在(a,+∞)上的函数，且在每一有限区间(a,b)内有界，满 足加+-a-4正明.色四-4 X (提示：先证A=0的情形，再利用辅助函数证明一般情形) 16、证明)=，是香也有闭=)， 证明：iDf)=Am/r)=mfx=A 证e>0,38>0当0<xK6'时有lfx)-AKE 令6=mi{6',则当0xk6时有0xx2xk6≤6，故有 If(x)-Aks.If(x2)-AKs. ii))=A→mf国)=A 证明e>0,36>0当0dx水d时有l/)-AkE 设5=，则当0xkδ时，0k6=fV)-Ak即lf)-A水E iDf)=x则x)=1x≠0)但f国不存在.如改为 量f)=),则结论成立《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 10 （也可：对  0 =| A− B | 0 ,  M 0 ,当 x  M 时 0 | f (x) − A|  .取足够大的 n 可 使 x M n 2 0  ,此时应有 B A f x A A B n | − |=| (2 0 ) − |  0 =|| − 矛盾）. 思考题 设 f 为定义在 (a,+) 上的函数,且在每一有限区间 (a,b) 内有界,满 足 f x f x A x + − = →+ lim [ ( 1) ( )] ,证明： A x f x x = →+ ( ) lim . （提示：先证 A = 0 的情形,再利用辅助函数证明一般情形） 16、证明 = → lim ( ) 0 f x x lim ( ) 3 0 f x x→ ,是否也有 = → lim ( ) 0 f x x lim ( ) 2 0 f x x→ ？ 证明：i） f x A x = → lim ( ) 0  lim ( ) 3 0 f x x→ f x A x = = → lim ( ) 2 0 . 证   0,   0 当 0 | x |   时有 | f (x) − A |  令  = min{   ,1} ,则当 0 | x |  时有 0 | || || |     3 2 x x x ,故有 | ( ) − |  3 f x A , | ( ) − |  2 f x A . ii） f x A x = → lim ( ) 3 0 f x A x  = → lim ( ) 0 证明   0,  1  0 当 1 0 | x |  时有 | ( ) − |  3 f x A 设 3  =  1 ,则当 0 | x |  时, 1 3 0 | x |  | ([ ] ) − |  3 3 f x A 即 | f (x) − A |  iii) f (x) = sgn x 则 ( ) 1 2 f x  (x  0) 但 lim ( ) 0 f x x→ 不存在 . 如改为 = → + lim ( ) 0 f x x lim ( ) 2 0 f x x→ ,则结论成立