《数学分析》上册教案】 第三章函数极限 海南大学数学系 “∈”如对任一趋于+∞的数列化，m,)=A,下证mf四)=4 反证：设m闭≠A,则6>≥0，VM>a,3u>M但lf)-A6 取n=1,3>1+a使|fx)-AP: 取n=2,3>2+a使lf,)-A; 取n=m,3rn>m+a使fxn)-A6o: x,=切.但心，)-4非6，因此血)≠A与假设矛盾 14、证明：若/为周期函数，且血闭=0，则)=0 证明设T为∫的一个周期.假设()不恒等于零则，使得 fx)=A≠0，从而 f八x+nT)=f(x)=A≠0(n=1,2,.) 又因为)=0而=x+r→切m→w, 由海涅定理，必有血，)=血+m=0但化，+n=A,矛盾. 15、设函数/在0，+o上满足方程f2x)=f),且血f)=4 证明：f(x)=A,x∈(0，+o). 证设∈0，+o)使)≠A,则由己知的函数方程推得 B=fxo)=f(2xo)=f2xo)=.=f(2"x)=.≠An=l,2,. 但血=4，有海涅定理对，=”有，)=A, 而气，=2”x→+0→/2)=A与f0x)=B矛后. 《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 9 “ ”如对任一趋于 + 的数列 { }n x , lim ( ) n n f x A →+ = ,下证 f x A x = →+ lim ( ) . 反证：设 f x A x  →+ lim ( ) ,则  0  0 ,M  a , xM  M 但 0 | f (x ) − A|  M 取 n =1, x1 1+ a 使 1 0 | f (x ) − A|  ； 取 n = 2, x2  2 + a 使 2 0 | f (x ) − A|  ；. 取 n = m, xm  m + a 使 0 | f (x ) − A|  m ；. = + → n n lim x .但 0 | f (x ) − A|  n ,因此 f xn A x  →+ lim ( ) 与假设矛盾. 14、证明：若 f 为周期函数,且 lim ( ) = 0 →+ f x x ,则 f (x)  0 证 明 设 T 为 f 的 一 个 周 期 . 假 设 f x( ) 不 恒 等 于 零 则 0 x 使 得 f (x0 ) = A  0 ,从而 f (x0 + nT) = f (x0 ) = A  0 （ n = 1,2,  ） 又因为 lim ( ) = 0 →+ f x x 而 xn = x0 + nT → + (n → ) , 由海涅定理,必有 = →+ lim ( ) n n f x lim ( 0 + ) = 0 → f x nT n 但 f (x0 + nT) = A ,矛盾. 15、设函数 f 在 (0,+) 上满足方程 f (2x) = f (x) ,且 f x A x = →+ lim ( ) . 证明： f (x)  A , x (0,+) . 证 设 0 x  (0,+) 使 f (x0 )  A ,则由已知的函数方程推得 B f x f x f x f x A n = ( ) = (2 ) = (2 0 ) = = (2 0 ) =  2 0 0 , n = 1,2, , 但 f x A x = →+ lim ( ) ,有海涅定理对 = + → n n lim x 有 f xn A n = → lim ( ) , 而 x = 2 x0 → + n n  f x A n n = → lim (2 ) 0 与 f x B n (2 0 ) = 矛盾