《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 以除分子分上式根为0-沙已刻限为0 21 11、设 存在，求常数a 、ne+cm=m9-7=0 ei+]x 台学. e*+1 故当且仅当a-1=1即a=2时上述极限存在.(2000年数学一考研题有一类 似题目) 2、已和知投=9 求常数a. 解 =2=m0+2弘器-.9 -6 x-a 2a=h9=2n3a=h3. 13、叙述“血)”的ke定理（归结原则），并证明之. 解∫在某(a,+o)上有定义，则 血田闭=A台，}c(a+o),x,→+m→o)有mf,)=A 证：“一”血f)=A,则E>0,3M>0,当x>M时f)-Ake 设cU+o),x。→+an→四)对上述M>0,N,当n>N时，>M, 从而，)-4kE即血/)=A《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 8 以 x 除分子分母,上式极限为 (1 2 ) 2 1 − b ,但已知极限为 0 故 2 1 b = . 11、设 ] | | sin 1 lim[ 2 2 1 0 x x e ae e x x x x − + + → 存在,求常数 a . 解 ] | | sin 1 lim [ 2 2 1 0 x x e ae e x x x x − + + → + ] 1 sin 1 lim [ 2 1 0 − = − + + = − − → + a x x e a e x x x , ] | | sin 1 lim [ 2 2 1 0 x x e ae e x x x x − + + → − ] 0 1 1 sin 1 lim [ 2 2 1 0 + = + = + + = → − x x e ae e x x x x . 故当且仅当 a −1=1 即 a = 2 时上述极限存在.（2000 年数学一考研题有一类 似题目） 12、已知 lim ( ) = 9 − + → x x x a x a ,求常数 a . 解 = − + → x x x a x a lim ( ) ) 9 2 lim (1 2 2 2 = = − + −  − → x a a ax a x a x e x a a 2a = ln 9 = 2ln 3  a = ln 3. 13、叙述“ lim f (x) x→+ ”的 Heine 定理（归结原则）,并证明之. 解 f 在某 (a,+) 上有定义,则 f x A x = →+ lim ( )  {x }  (a,+) n , x → +(n → ) n 有 lim ( ) n n f x A →+ = 证：“ ” f x A x = →+ lim ( ) ,则   0,M  0 ,当 x  M 时 | f (x) − A |  . 设 {x }  U(+) n , x → +(n → ) n ,对上述 M  0,N ,当 n  N 时 xn  M , 从而 | f (x ) − A|  n 即 lim ( ) n n f x A →+ =