六、(10分)求y=x2,x=1与x轴所围图形的面积及该图形绕y轴旋转所成旋转 体的体积 解:面积==3(4分) 旋转体积=2nx*x2h=,(6分) 七、(10分)设p20,讨论反常积分 m(x2+1)的敛散性 解: (1分) 积分∫ ln(x2+1) dx当p>1时收敛,当0sp≤1时发散;(4分) 积分/hx2+ 1) dx当p-2<1时收敛,当p-2≥1时发散 (4分) 所以,原积分当1<p<3时收敛,当0≤p≤1和p≥3时发散。(1分) 八、(0分)直线x4y-3=三与直3+3=0 x-y-3=0 否在同一平面上?若是,求 出它们所在的平面方程。若不是,求出与这两条直线相交且与它们都垂直的 直线方程 解:{3x-y-3=0的点向式方程是x=+3=,两条直线的方向向量分别是 y-3+3=0 1=(3,3,-1)和2=(13,P(4,3,0)和P2(O,-3,0)分别是两条直线上的点 由于 (1×l2)PP2 336 12-6+12-18=0,所以,两直线在同一平面上(5分) k 所在平面方程的法向量是示=33-1=6-4+6k=(6-4+6),所以,平面方 程是3x-2(y+3)+3=0,或 3x-2y-3+6=0.(5分) 解2:作平面束3x-y-3+1(y-3x+3)=0,先求此平面束中过点(430)的平面将(4,30) 代入平面束方程解出t=-1,即得平面方程3x-2y+3-6=0.(5分)两条直 线共面当且仅当直线x4=2-3=三落在平面3x-2y+32-6=0上,当且仅当 7=(3,3-1)⊥=(3-2,3).由于7·亓=0→1⊥n,所以给定的二条直线在同一平面 上,(5分)该平面方程是3x-2y+3z-6=0。3 六、（10 分）求 y = x 2， x =1 与 x 轴所围图形的面积及该图形绕 y 轴旋转所成旋转 体的体积. 解：面积 =   1 0 2 3 1 x dx . （4 分） 旋转体体积 = 2 2 1 0 2      x x dx . （6 分） 七、（10 分）设 p  0 ，讨论反常积分    0 2 ln( 1) dx x x p 的敛散性. 解：           1 0 2 1 2 0 2 ln( 1) ln( 1) ln( 1) dx x x dx x x dx x x p p p . （1 分） 积分    1 2 ln( 1) dx x x p 当 p 1 时收敛，当 0  p 1 时发散; （4 分） 积分  1  0 2 ln( 1) dx x x p 当 p  2 1 时收敛，当 p  2 1 时发散。 （4 分） 所以，原积分当 1 p  3 时收敛，当 0  p 1 和 p  3 时发散。 （1 分） 八、（10 分）直线 3 1 3 3 4     x  y z 与直线          3 3 0 3 3 0 y z x y 否在同一平面上？若是，求 出它们所在的平面方程。若不是，求出与这两条直线相交且与它们都垂直的 直线方程. 解：          3 3 0 3 3 0 y z x y 的点向式方程是 z y x    3 3 , 两条直线的方向向量分别是 (3,3, 1) l1    和 (1, 3,1) l2   , (4,3,0) P1 和 (0, 3,0) P2  分别是两条直线上的点. 由于 12 6 12 18 0 4 6 0 1 3 1 3 3 1 ( ) 1 2 1 2       l  l  P P    , 所以，两直线在同一平面上.（5 分） 所在平面方程的法向量是 6 4 6 (6, 4, 6) 1 3 1  3 3 1  i  j  k    i j k n        , 所以, 平面方 程是 3x  2(y  3)  3z  0 , 或 3x  2y  3z  6  0 . （5 分） 解 2：作平面束 3x y 3t(y 3z 3)  0 ，先求此平面束中过点 (4,3,0) 的平面. 将 (4,3,0) 代入平面束方程解出 t  1 ，即得平面方程 3x2y 3z 6  0 . （5 分）两条直 线共面当且仅当直线 3 1 3 3 4     x  y z 落在平面 3x2y 3z 6  0 上，当且仅当 l  (3,3,1)  n  (3,2,3)   . 由于 l n  0   l n     , 所以给定的二条直线在同一平面 上，（5 分）该平面方程是 3x2y 3z 6  0