废品”这一事件,则P(4) N 设ξ为n次抽样检查中所抽到的废品数,则ξ~B(n,),因 此,所求概率为:P=k}=C()(1-,)k。 三、二项分布的数学期望与方差 设5~B(n,p),P{=k}=Cp2(1-p)*,k=0.2…n 由数学期望的定义: E=∑kP=k}=∑k k(-p(1 S(n-) (k-1)(n-k) (令k-1=l) y2n(=1mp(0-py=mCp0-p=明p+(-p)=甲 即:E=mp 由方差的定义:D5=E(2)-(E)2 E()=∑RCpq=∑k p‘qk(令k-1=l) 如(k-1)(n-k m+.(-1)-pq l(n-1-1) =mp(n-1)p+(p+q)-]m+mn-1)p2 DS=np+n(n-1)p2-(np)2=np(1-p)=npq 五、二项分布的 Poisson逼近 Th;在n重Bemo试验中,记pn为事件A在一次试验中出现的概率,它与试验总数n 有关(一组试验),若mmP=A>0,则对v的正整数k≥0,有limb(k,n,P)=e P00令n=mn,则mn=,且pn=当则 b(k; n, P, )=bk; n, n n3 废品”这一事件，则 ( ) M N P A = ，设  为 n 次抽样检查中所抽到的废品数，则 ~ ( , ) M B n N  ，因 此，所求概率为：   k k n k n M N M N P k C −  = = ( ) (1− ) 。 三、二项分布的数学期望与方差 设  ~ B(n, p)，   k k n k P k Cn p p −  = = (1− ) ，k = 0,1,2n 由数学期望的定义： ( ) ( ) ( ) ( ) k n k n k k n k n k n k p p k n k n p p np k n k n E k P k k − − = − = =  − − − −   − = −  =   = =    (1 ) 1 ! ! 1 ! (1 ) ! ! ! { } 1 0 0 1 （令 k −1= l ） = ( ) ( ) p p np p p np p p np l n l n np l n l n n l o l n l n l n l − = C − = + − = − − − − − − − = − − − − =   1 1 1 1 1 1 0 (1 ) (1 ) [ (1 )] ! 1 ! 1 ! 即： E = np 由方差的定义： 2 2 D = E( ) − (E) ( ) ( ) k n k n k k k n k n n k p q k n k n E k C p q k − = − = − − =  =  1 ! ! ! ( ) 0 1 2 2  （令 k −1= l ） = ( ) ( ) ( ) l n l n l p q l n l n np l − − − = − − −  + 1 1 0 ! 1 ! 1 ! 1 =       +  − = − = − − − − − − 1 0 1 0 1 1 1 1 n l n l l l n l n l l n l np lCn p q C p q = ( )  1 1 ( ) − − + + n np n p p q = ( ) 2 np + n n −1 p D = np + n(n −1)p − (np) = np(1− p) = npq 2 2  五、二项分布的 Poisson 逼近 Th：在 n 重 Bernoulli 试验中，记 n p 为事件 A 在一次试验中出现的概率，它与试验总数 n 有关（一组试验），若 =  → n n lim nP >0, 则对  的正整数 k  0 ，有 lim ; , ( n ) n b k n P → =  − e k k ! Proof:令 n = npn ，则  =  → n n lim ,且 n p n n  = 则 b(k;n,Pn ) =  =       n b k n n ; , n k k n k n n n n C −        −   ( ) 1 = ( ) n k n k n n n n k k n −         −      −    1 ! ! !