即当x≠2k时,部分和sn有界,有 Dirichlid判别法知收敛。当x=2kπ时 sInx=0,于是对?收敛a, sin nx收敛。 五绝对收敛的性质 Th2若级数∑an收敛其和是S,则,按顺序结合在一起,构成的新级数 l1+l2+ +l)+(+l+ +l2n)+(l2n++l2n+2+ 也收敛,其和是S 满足结合律,满足交换律 A=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…+(-1~ n 1-1/2-1/4+(1/3-1/6)-1/8+1/5-1/10-1/12+1/7-1/14 =(1-1/2)-1/4+(1/3-1/6)-1/8+(1/5-1/10)-1/12+(1/7-1/14 1/2-1/4+1/6-1/8+1/10-l/12 1/2(1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6-……)=A 级数为什么会满足交换性呢?这是因为它是条件收敛的。 Riemann证明了它一般的结果: 级数∑an条件收敛()则运算交换级数∑an,可使交换后的新级数收敛到8() (一致收敛的级数满足交换律) Thl3级ln绝对,其和为S,则的各项,其和也是S 证明: 级数∑Un的部分和是lmSn=S有∑un收敛。即当 x≠2kπ时，部分和 sn 有界，有 Dirichlid 判别法知收敛。当 x＝2kπ时， sinnx＝0，于是对？收敛   =1 sin n an nx 收敛。 _______________________________________________________________________________ 五 绝对收敛的性质 Th12 若级数   n=1 n a 收敛,其和是 S，则，按顺序结合在一起，构成的新级数 (u1 + u2 ++ un ) + (un+1 + un+2 ++ u2n ) + (u2n+ + u2n+2 ++ u3n ) + 也收敛，其和是 S {Sk’} 满足结合律，满足交换律  − − n n 1 ( 1) 1 A n A n 2 1 1/ 2(1 1/ 2 1/ 3 1/ 4 1/ 5 1/ 6 ) 1/ 2 1/ 4 1/ 6 1/ 8 1/10 1/12 (1 1/ 2) 1/ 4 (1/ 3 1/ 6) 1/ 8 (1/ 5 1/10) 1/12 (1/ 7 1/14 1 1/ 2 1/ 4 (1/ 3 1/ 6) 1/ 8 1/ 5 1/10 1/12 1/ 7 1/14 1 1 1/ 2 1/ 3 1/ 4 1/ 5 1/ 6 ( 1) 1 = − + − + − − = = − + − + − − = − − + − − + − − + − + − − + − − + − − + − = − + − + − ++ − − 级数为什么会满足交换性呢？这是因为它是条件收敛的。 Riemann 证明了它一般的结果： 级数   n=1 n a 条件收敛（）则运算交换级数   n=1 n a ，可使交换后的新级数收敛到δ（）。 （一致收敛的级数满足交换律） Th13 级   n=1 n u 绝对，其和为 S，则的各项，，其和也是 S。 证明： 设级数   n=1 n u 的部分和是 l im Sn S n = → 有   n=1 n u 收敛