第四章函数的连续性 证假设f(x)在[a,b]上不恒为正且不恒为负,则必存在 x1,x2∈[a,b]使f(x1)与f(x2)异号,不妨设x1<x2,f(x1)>0, f(x2)<0.由于函数f在[a,b]上连续,故f(x)在[x1,x2]上连续 由根的存在性定理可得,存在e∈(x1,x2)使得f()=0,这与不存在 任何x,使得f(x)=0相矛盾,故∫在[a,b]上恒正或恒负 10.证明:任一实系数奇次方程至少有一实根 证设a0x2m+1+a1x2n+…+a2mx+a2x+1=0为一实系数奇 次方程且a0≠0,令其左端为f(x)且可设a0<0,因而f(x)在 ∞,+∞)上连续且limf(x)=+∞,limf(x)=-∞,从而存在 a<b,使0<f(a)且f(b)<0,在[a,b]上应用根的存在性定理可 知:f(x)=0在区间[a,b]内至少有一个实根 11.试用一致连续的定义证明:若f,g都在区间I上一致连续,则 ∫+g也在Ⅰ上一致连续 证:Ve>0,由于f(x)在Ⅰ上一致收敛,故彐81>0对任意 x,x∈只要|x-x<b1就有|f(x)-f(x)<是又由 于g(x)在Ⅰ上一致收敛,故彐δ2>0,对任意x’,x"∈I,只要 1x-x"1<82,就有|g(x)-g(x)<号,令8=min81,2 对任意x′,x"∈I只要1x′-x"1<δ,恒有 [f(x)+g(x")]-[f(x")+g(x")]1 SI f(2)-f()1+ g(I)-g(I)1<2+2=E 故f(x)+g(x)在I上一致连续 12.证明f(x)=√x在[0,+∞)上一致连续 提示:[0,+∞)=[0,1]U[1,+∞],利用定理49和例10的结 论 证明:因为f(x)=√x在[0,+∞)上连续,故对任意的a>0, x在[0,a]上连续,故在[0,a]上一致连续,所以对任给的e>0,总 彐81>0对[0,a]中的任意x1,x2,当|x1-x21<81时有