第四章函数的连续性 又由,若f(x)在I上连续∴h(x)=1f(x)在I上也连续 由∫(x),g(x)在I上连续所以,F(x),G(x)在I上连续 4.设f为R上连续函数常数c>0,记 c,若f(x)<-c F(x)={f(x),若|f(x)≤c 若f(x)>c 证明F在R上连续 提示:F(x)=max{-c, minic,f(x) 证明因为F(x)=c+f(x)|-1c-f(z)l 由题设,f(x)在R上连续.从而!f(x)±c|在R上连续 所以F(x)在R上连续 5设八(x)=smx,g(x)={x-x,x≤0 证明:复合函数∫q x+π,x>0 在x=0连续,但g在x=0不连续 x-x,x≤0 证由于f(x)=sinx,g(x)= >0 sin(x-),x≤0 于是f(g(x)= n(x+x),x>0 mf(g(r))=lim sin(x-x)=0 lim fog(x)= lim sin(x+r)=o fog(0)=0 #h lim fog(z)=lim fog(x)=f og(0) 从而∫g(x)在x=0连续 1E lim g(x)=lim(r+r)=r, lim g(r)=lim(r-r)=-x r+o 于是x=0是g的跳跃间断点,从而g在x=0不连续 6.设∫在[a,+∞)上连续,且limf(x)存在.证明:f在 [a,+∞)上有界,又问f在[a,+∞)上必有最大值或最小值吗? 证由于imf(x)存在,不妨记limf(x)=A,对∈=1,存在正数