82连续函数的性质 (2)由于f(x)=sgx,g(x)=(1-x2)x,于是(gof)(x)≡0, 可见gof处处连续.因为 1,x∈(-∞,-1)U(0,1) (fg)(x)={0,x=-1,0,1 1,x∈(-1,0)U(1,+∞) 故x=-1,0,1是fg跳跃间断点 2.设∫,g在点x0连续,证明 (1)若f(x)>g(x0),则存在U(x,8),使在其内有∫(x)>g(x) (2)若在某U(x0)内有f(x)>g(x),则f(x0)≥g(x0) 证(1)由于f(x0)>g(x0),从而ef(x)-6(x)0,因 ∫在x连续,于是limf(x)=f(xo).因此,存在正数81,使得当 Ix-xo<δ1时,I∫(x)-f(x0)|<εo 可见f(x)>1(x)+g(z2)(1) 又因g在x0连续,从而存在正数a2,当|x-x0|<82 可见g(x)< f(x)+g(x0)(2) 现取♂=min81,a2},当|x-x0<8时,(1),(2)同时成立 因此∫(x)>g(x),x∈U(x0,8) (2)假设命题不真,从而f(x0)<g(x0),由(1)可知,存在xo的 某个邻域U(x0,δ),使f(x)<g(x),x∈U(x0,8) 这与x≠x0时,f(x)>g(x)矛盾,故f(x0)≥g(x0) 3.设fg在区间Ⅰ上连续,记F(x)=maxf(x),g(x)} G(x)=minf(x),g(x)证明F和G也都在I上连续 提示:利用第一章总练习题1 证:由F(x)=1f(x)+g(x)+1f(x)-g(x)} G(x)=[f(x)+g(x)-1f(x)-g(x)1