+=,+,)e y=ey e: 自由粒子的动量p可以取任意连续值,所以它的能量E也可以有任意的连续值。 3.7粒子位于一维对称势场中,势场形式入图3-1,即 0<x<L,=0 x<0,x>L,=1 (1)试推导粒子在E<情况下其总能量E满足的关系式。 (2)试利用上述关系式,以图解法证明,粒子的能量只能是一些不连续的值。 解:为方便起见,将势场划分为I,Ⅱ,Ⅲ三个区域 (1)定态振幅方程为V+2(E-12)n=0 式中是粒子的质量。 区 a2-aw=0其中a2=2 (-E) 波函数处处为有限的解是:v1(x)=4e,是一任意常数。 Ⅱ区: +BW=0其中0232 E 处处有限的解是:v2(x)=Bsin(Br+y),B,y是任意常数。 Ⅲ区 a2y=0其中 hr 处处有限的解是:v3(x)=De,D是任意常数。 有上面可以得到:1 =Bcg(Br+y 有连续性条件,得 y tg(BL+y) 解得:m p E E m p e E dz d dy d dx d A m h p x p y p z Et h i x y z 2 2 ( ) 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2                自由粒子的动量 p 可以取任意连续值，所以它的能量 E 也可以有任意的连续值。 3.7 粒子位于一维对称势场中，势场形式入图 3-1，即 0 , 0 0, , 0 {       x L V x x L V V （1）试推导粒子在 E  V0 情况下其总能量 E 满足的关系式。 （2）试利用上述关系式，以图解法证明，粒子的能量只能是一些不连续的值。 解：为方便起见,将势场划分为Ⅰ‚Ⅱ‚Ⅲ三个区域。 （1） 定态振幅方程为 ( ) 0 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2   x x  x E V dx h d    式中  是粒子的质量。 Ⅰ区： ( ) 2 0 2 0 2 2 2 2 V E dx h d          其中 波函数处处为有限的解是：1 (x)  Ae x , A是一任意常数。 Ⅱ区： E dx h d 2 2 2 2 2 2 0        其中  处处有限的解是： 2 (x)  Bsin(x   ),B,是任意常数。 Ⅲ区： ( ) 2 0 2 0 2 2 2 2 V E dx h d          其中 处处有限的解是： 3 (x)  De x , D是任意常数。 有上面可以得到： , 1 ( ), 1 , 1 3 3 2 2 1 1                 dx d ctg x dx d dx d 有连续性条件，得：        ctg ctg L    (  ) { 解得：