水木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-62701055/82378805地址:清华同方科技广场B座60 (5)若X与Y相互独立,f(x)与g(x)为连续函数,则f(X)与g(Y)也相互独立 四、随机变量的数字特征 重要公式与结论: (1)D(x)=E(x2)-E(x) (2)cov(Y, r)=E(XY) -E(XE(Y) (3)o(x,y)s1,且1.p(x,)=1eP(y=aX+b)=1,其中a>0 2.p(x,H)=-1P(Y=ax+b)=1,其中a<0 (4)下面5个条件互为充要条件 P(r, r)=0e cov(X, r)=0 OE(XY=E(XE(Y) e D(X+r)=D(x)+D(r) e D(X-Y=D(x)+D(r) 注:X与Y独立为上述5个条件中任何一个成立的充分条件,但非必要条件 3.注意 本讲重点是随机变量函数的数学期望、方差,并掌握下列常见分布的期望与方差 分布 数学期望 (1)0-1分布B(,P) (2)二项分布B(n,P) 3) Poisson分布P(a) (4)正态分布N(uo2) (5)均匀分布U(a,b) atb (6)指数分布E(A) P (7)几何分布G(p) (8)超几何分布m H(N, M, n) 大数定律和中心极限定理 重要定律 切比雪夫 不等式 PEY-ECXy2cks Dix)ax pHr-E(x)ks)2l-Dex) 切比雪夫 设x1,x2,…,xn…相互独立,且E(x)=,D(x)=2(=12…) 大数定律 对任意正数E,有 不利大数定律设x,x2“x,…相互独立,同0-1分布B 则对任意正数E, iia水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 （5）若 X 与Y 相互独立， 与 为连续函数，则 ( ) xf ( ) xg (Xf ) 与 (Yg )也相互独立。 四、随机变量的数字特征 重要公式与结论： （1） ( ) ( ) ( ) XEXEXD 22 −= （2） ( ,cov ) = ( )− ( )() YEXEXYEYX （3） ρ( ) YX ≤1, ，且 1． ρ( )( ) 1, ⇔= = + baXYPYX = 1，其中 。 a > 0 2． ρ() ( ) YX 1, =⇔−= + baXYP = 1，其中 。 a < 0 （4）下面 5 个条件互为充要条件： ρ() () YX ⇔= YX = 0,cov0, ( ) ( )() ( ) () ( ( ) () (YDXDYXD YDXDYXD YEXEXYE +=−⇔ +=+⇔ =⇔ ) ) 注： X 与Y 独立为上述 5 个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件。 3．注意 本讲重点是随机变量函数的数学期望、方差，并掌握下列常见分布的期望与方差。 分布 数学期望 方差 （1）0－1 分布 ( ) ,1 PB （2）二项分布 ( ) ,PnB （3）Poisson 分布 P( ) λ P (1− pP ) (1− pnp ) （4）正态分布 ( ) 2 N ,σμ （5）均匀分布U( ) ba np λ λ , （6）指数分布 E( ) λ （7）几何分布G( ) p （ 8 ）超几何分布 ( ) ,, nMNH μ 2 + ba λ 1 p 1 N nM 2 σ ( ) 12 2 − ab 2 1 λ 2 1 p − p 1 1 − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − N nN N M N nM 二、 大数定律和中心极限定理 重要定律 切比雪夫 不等式 { } ( ) ( ) 2 ε ε XD XEXP ≤≥− 或 { } ( ) ( ) 2 1 ε ε XD XEXP −≥<− 切比雪夫 大数定律 设 21 XXX n ,,,, LL 相互独立，且 E( ) , ( ) ( ,2,1 L) 2 i = μ i σ iXDX == 对任意正数ε ，有 1 1 lim 1 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∑ <− = ∞→ εμ n i i n X n P 伯努利大数定律 设 21 XXX n ,,,, LL 相互独立，同 0－1 分布 ( ,1 PB )，则对任意正数ε ， 有 1 1 lim 1 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∑ <− = ∞→ εμ n i i n X n P 36