133底半径为a,高为h的均匀导热圆柱,上底面绝热,下底面保持温度 为0度,侧面保持温度为常数v,求柱内的温度分布 解: 由题目得到定解问题 2=-(mn)+-,l+u==0 l2=0 ul=≠∞o,l==v 易知u与p无关 设u=R()Z(x),代入上述方程,得到 R+R-lpR=O z+z=0, 以及边界条件,Z:=0=0,2|6=0 (2)与边界条件2=0=0,21:=0构成本征值问题, 本征值为n 2n+1 0,1,2 相应的本征函数为2n=si2n+心 (1)式可化为0阶虚宗量 Bessel方程(过程略) 其解为Rp)=A1n+、ma/2n+1 2h 因此,定解问题的一般解为 2n+1 (p,z)=∑|Anl 2h2+B.K/2n+1 由边界条件u=0≠∞,得,Bn=0 (p,-)=∑A 2n+1 2n+1 rp sin h13.3 底半径为 a，高为 h 的均匀导热圆柱，上底面绝热，下底面保持温度 为 0 度，侧面保持温度为常数 v，求柱内的温度分布。 解： 由题目得到定解问题 ( )          ≠ ∞ = = ∂ ∂ = ∇ = + + = = = = = u u v z u u u u u u a z h z zz ρ ρ ρ ρ ϕϕ ρ ρ ρ | , | | 0, 0 0 1 1 0 0 2 2 易知u 与ϕ 无关 设u = R(ρ)Z(z) ，代入上述方程，得到 '' 0, (2) '' ' 0, (1) + = + − = Z Z R R R λ ρ λρ 以及边界条件，Z z=0 = 0,Z' z=h = 0 （2）与边界条件Z z=0 = 0,Z' z=h = 0构成本征值问题， 本征值为 2 2 2 1       + λ = π h n n ， n=0,1,2… 相应的本征函数为       + = z h n Zn π 2 2 1 sin （1）式可化为 0 阶虚宗量 Bessel 方程（过程略） 其解为       +  +      + ρ = πρ πρ h n B K h n R A I n n n 2 2 1 2 2 1 ( ) 0 0 因此，定解问题的一般解为 ∑ ∞ =       +             +  +      + ∴ = 0 0 0 2 2 1 sin 2 2 1 2 2 1 ( , ) n n n z h n h n B K h n u ρ z A I πρ πρ π 由边界条件u | ρ=0≠ ∞ ，得， 0 Bn = ( )       +       + ∴ = ∑ ∞ = z h n h n u z A I n ρ n πρ π 2 2 1 sin 2 2 1 , 0 0