T-haZ=o 以及边界条件,RO)≠∞,R(p)l==0 (1)与上面的边界条件构成本征问题 其本征值为4=(R/”=12 相应的本征函数为R()=R(p)=Jnp|,其中,x0是J(x)的正零点。 对应每一个本征值,由T满足的方程 2AT=0,解得 Tn = A sIn r,oat +b cos R R 因此,一般解为, (,1)=∑|An R+B,cos R R 由第二个初始条件u1l=0=0,可得:A=0,所以方程的解为, (p,D)=∑Bn cOS 0,代入初始条件 u 得 SB JOR 其中 B RJGoF HI (类 p ledp 计算中运用了递推公式(z)=xz.-,2乙,=乙,+Zn,以及J(x9)=0 所以,方程的解为 (o vo R R l(p,1)=4H COS cOS J,(x Hx o FJ,(xoD)R' ' 0, (2) 2 T −λa Z = 以及边界条件， R(0) ≠ ∞, R(ρ) | ρ=R = 0 （1）与上面的边界条件构成本征问题， 其本征值为 , 1, 2L 2 (0) =         = = n R xn λ λn 相应的本征函数为         ρ = ρ = ρ R x R R J n n (0) 0 ( ) ( ) ，其中， (0) n x 是 ( ) 0 J x 的正零点。 对应每一个本征值，由 T 满足的方程： ' ' 0 2 T −a λT = ，解得 R x at B R x at T A n n n n n (0) (0) = sin + cos 因此，一般解为， ∑ ∞ =               = + 1 (0) 0 (0) (0) ( , ) sin cos n n n n n n R x J R x at B R x at u ρ t A ρ 由第二个初始条件ut | t=0= 0，可得： An = 0 , 所以方程的解为， ∑ ∞ =         = 1 (0) 0 (0) ( , ) cos n n n n R x J R x at u ρ t B ρ , 代入初始条件         = = − 2 2 0 | 1 R u t H ρ ，得， ∑ ∞ =         =        − 1 (0) 2 0 2 1 n n n R x B J R H ρ ρ 其中， [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) (0) 1 3 (0) 2 (0) 1 (0) (0) 2 0 (0) 2 0 2 2 (0) 1 2 4 8 1 ( ) 2 n n n n n R n n n x J x H x J x HJ x d R x J R H R J x B = =                 = − ∫ ρ ρ ρ ρ 计算中运用了递推公式( ) = −1 ′ ν ν ν ν x Z x Z ， 1 1 2 ν = ν − + ν + ν Z Z Z x ，以及 ( ) 0 (0) J 0 xn = 所以，方程的解为： ( ) [ ] [ ] R x at x J x R x J H R x at x J x R x J x J u t H n n n n n n n n n n n (0) 1 (0) 1 3 (0) (0) 0 (0) 1 2 (0) 1 (0) (0) 0 (0) 2 cos ( ) cos 8 ( ) ( , ) 4 ∑ ∑ ∞ = ∞ =         =         = ρ ρ ρ