由u=0=0,得,An=0,所以方程的解为, .)=∑Bsin b 代入边界条件ul==f(p),得, ()=∑ B, sinh(, 其中, B, sinh mh f(ell/m b 4(2)“时 所以方程的解为: (,少八、2、 (x+、b2pSmb(x (,) f(p) p lpdp 13,2半径为R的圆形膜,边缘固定。初始形状是旋转抛物面,即 (pD(=1-2|(H为常数)初始速度为零。求解膜的振动情况。 解: 定解问题为: u =avu=a lou),+o2uogp R=0 采用极坐标系,由于对称性,方程的解u与φ无关,设u=(p,1)=T(1)R(p) 代入上述方程,得到 PR+R+pR=0,由u | z=0= 0，得, 0 An = ，所以方程的解为， ∑ ∞ =             = 1 0 ( , ) sinh n n n n b x z J b x u ρ z B ρ 代入边界条件u | f (ρ) z=h = ，得， ∑ ∞ =             = 1 0 ( ) sinh n n n n b x h J b x f ρ B ρ 其中， ∫              =      b n n n n d b x f J b x J h b x B 0 2 0 0 ( ) 1 sinh ρ ρ ρ ρ ρ 而， { } [ ][ ] [ ]2 2 0 2 2 2 0 2 0 2 2 0 ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) 2 n n n n n J x hx b b J x J x b b x J        = ′ + = +      ρ 所以方程的解为： [ ] ∑ ∫ ∞ = −                         = + 1 0 0 1 2 2 2 0 0 2 ( ) sinh sinh ( ) 1 ( ) ( ) 2 ( , ) n b n n n n n n d b x f J h b x z b x hx b J x b x J b u z ρ ρ ρ ρ ρ ρ 13.2 半径为 R 的圆形膜，边缘固定。初始形 状是旋转抛物面，即         = − = 2 2 0 ( , ) 1 R u t H t ρ ρ （H 为常数）。初始速度为零。求解膜的振动情况。 解： 定解问题为： ( )          =         = − ≠ ∞ =       = ∇ = + = = = = | 1 , | 0 | , | 0 1 1 2 0 2 0 0 2 2 2 2 t t t R tt u R u H u u u a u a u u ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ϕϕ ， 采用极坐标系，由于对称性，方程的解 u 与ϕ 无关，设u = u(ρ,t) = T(t)R(ρ) 代入上述方程，得到 ρR' '+R'+λρR = 0, (1)