《数学物理方法》第十三章作业参考解答 13.1半径为b和高为h的圆柱体,下底的温度保持为0度,上底的温度为p的 函数∫(p),其侧面在零摄氏度的空气中自由冷却,求圆柱体内部各点的稳 恒温度。 解:定解问题为: +-2u+=2=0,(0≤p≤b,0≤9≤2z,0≤z≤h) Lu+hu 0 l2-0=0,ul-h=f(p) 由于问题的轴对称性,设u=l(p,=)=R(p)z(x),代入上述方程,得到 R+R+pR=O z"-z=0, 以及边界条件,RO)≠,(R+hR)|==0 (1)与上面的边界条件构成本征问题,方程的通解为 R(p)=CJ(√Ap)+DN(√p) 考虑到第一个边界条件,方程的解应为:R(p)=J0(√Ap), 代入第二个边界条件得:J0(√Ab)+h√J(√b)=0。 设方程J0(x)+hJ(x)=0的正根为xn,则本征值=2n=(xn}2,n=1,2 相应的本征函数为=8(O=(含 对应每一个本征值,由Z满足的方程:z'(x)-z()=0,解得 Z,()=A, cosh( Xn=+B, sinh(xn= 因此,一般解为, u(p, =)=> A, cosh =+B, sinh《数学物理方法》第十三章作业参考解答 13.1 半径为 b 和高为 h 的圆柱体，下底的温度保持为 0 度，上底的温度为 ρ 的 函数 f (ρ) ，其侧面在零摄氏度的空气中自由冷却，求圆柱体内部各点的稳 恒温度。 解：定解问题为： ( )          = = + = ∇ = + + = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = = = | 0, | ( ) [ ] 0 0, (0 , 0 2 , 0 ) 1 1 0 2 2 ρ ρ ϕ π ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ϕϕ u u f u hu u u u u b z h z z h b zz 由于问题的轴对称性，设u = u(ρ,z) = R(ρ)Z(z)，代入上述方程，得到 '' 0, (2) '' ' 0, (1) − = + + = Z Z R R R λ ρ λρ 以及边界条件， R(0) ≠ ∞, (R + hR′) |ρ=b = 0 （1）与上面的边界条件构成本征问题，方程的通解为 ( ) ( ) ( ) R ρ = CJ 0 λρ + DN0 λρ 考虑到第一个边界条件，方程的解应为： ( ) ( ) R ρ = J 0 λ ρ ， 代入第二个边界条件得： ( ) ( ) 0 J 0 λb + h λ J 0 ′ λb = 。 设方程 0 ( ) + J 0 ′(x) = 0 b x J x h 的正根为 n x ，则本征值 = = ( ) 2 , n = 1, 2L b xn λ λn 相应的本征函数为       ρ = ρ = ρ b x R R J n n 0 ( ) ( ) 对应每一个本征值，由 Z 满足的方程：Z''(z) − λZ(z) = 0，解得        +      = z b x z B b x Z z A n n n n n ( ) cosh sinh 因此，一般解为， ∑ ∞ =                    +      = 1 0 ( , ) cosh sinh n n n n n n b x z J b x z B b x u ρ z A ρ