E>0,存在k>0.,使得J/d<E 提示:利用积分的绝对连续性 10.设∫为可测函数.证明∫可积的必有条件是 ∑nH({n≤/(<n+1)<+∞ 当p(X)<+∞时,上述条件也是充分条件 11.若∫为可积函数则limm({≥n})=0 12.设∫为有限测度空间上的可测函数则∫可积的充要条件是 A(≥m)<+0 13.设∫为有限测度空间上的可测函数.则∫可积的充要条件是 (≥2"})< 14.设∫为有限测度空间上的可测函数,并且存在M>0和a>1,使得 H(/≥A) 1>0. 证明∫可积 15.设f,Jfn(n≥1)为可积函数.若对每个可测集A均有 ∫,4≤Jmd,n21 并且imJd=J,/dm,0则1一→ 设,(n21)为可测函数f-“→若supd<+,则厂可积 17.设∫,fn(n≥1)为可测函数,∫n-)∫.若存在可积函数g,使得 |sgae(≥1),则im∫n-fd=0 18设1n}是可测函数列并且∑』体如<+则∑f可积并且 ∫∑4=∑∫,d 19.设∫,fn(n≥1)为非负可测函数列,fn—>f.证明 ∫ fds lim∫,d 135135 ε > 0, 存在 k > 0, 使得 . { } µ < ε ∫ f ≥k f d 提示: 利用积分的绝对连续性. 10. 设 f 为可测函数. 证明 f 可积的必有条件是 ({ 1}) . 1 ∑ ≤ < + < +∞ ∞ n= nµ n f n 当 µ(X ) < +∞时, 上述条件也是充分条件. 11. 若 f 为可积函数. 则 lim ({ ≥ }) = 0. →+∞ n f n n µ 12. 设 f 为有限测度空间上的可测函数. 则 f 可积的充要条件是 ({ }) . 1 ∑ ≥ < +∞ ∞ n= µ f n 13. 设 f 为有限测度空间上的可测函数. 则 f 可积的充要条件是 2 ({ 2 }) . 0 ∑ ≥ < +∞ ∞ n= n n µ f 14. 设 f 为有限测度空间上的可测函数, 并且存在 M > 0和α > 1, 使得 ({ ≥ }) ≤ , λ > 0. λ µ λ α M f 证明 f 可积. 15. 设 f , f (n ≥ 1) n 为可积函数 . 若对每个可测集 A 均 有 , 1, ≤ 1 ≥ ∫ f d ∫ f + d n A n A n µ µ 并且 ∫ ∫ = →+∞ A A n n lim f dµ f dµ, 则 . a.e. f f n → 16. 设 f , f (n ≥ 1) n 为可测函数. . a.e. f f n → 若 ∫ < +∞ ≥ sup , 1 f n dµ n 则 f 可积. 17. 设 f , f (n ≥ 1) n 为可测函数 , . a.e. f f n → 若存在可积函数 g , 使 得 f ≤ g a.e.(n ≥ 1), n 则 lim − = 0. ∫ →+∞ f n f dµ n 18. 设{ }n f 是可测函数列, 并且 ∑∫ ∞ = < +∞ 1 . n n f dµ 则∑ ∞ n=1 n f 可积, 并且 . 1 1 µ ∑ µ ∫∑ ∫ ∞ = ∞ = = n n n f n d f d 19. 设 f , f (n ≥1) n 为非负可测函数列, f f . n →µ 证明 ∫ ∫ →∞ f dµ ≤ lim f dµ. n n