习题四 在以下各题中,除题目中已有说明的外,可测函数的积分都是关于给定的测度空间 (X,,4)的 1.设F(x)= 2.x>1 F是由F导出的L-S测度.计算 dμ.其中 f(x)=alo, 0)+blm +cI2l 设A1,…,A是[O,1中的n个 Lebesgue可测集.若每个x∈[0,至少于这 个集中的q个,则必存在某个A,使得m(4)≥2 3.设∫是[0,2z]上的L可测函数并且 D(x)01+1(x)x<+a 证明∫是[O,2x]上的L可积函数 4.设山1和2是可测空间(X,)上的两个测度.证明 ().+42是(X,)上的测度 (i).若f关于1和2都可积,则f关于1+2可积,并且 ∫(A+H2)=+J2 5.设∫为可测函数.若存在正测度集A,使得当x∈A时,f(x)>0,则 fdA 6.证明:()设∫为可测函数若对每个可测集A,均有∫/d≥0,则 f≥0ae. (i).设∫和g是可积函数并且对任意可测集A,成立 「=J.dn则r=gae 7设()为可积函数列,∫为可测函数若imn-d=0.则∫可积 8.设f,fn(m21)为可测函数若1mJ-1=0.,则f→ 9.设∫为有限测度空间上的可测函数.则∫可积的充要条件是对任给的134 习 题 四 在以下各题中, 除题目中已有说明的外, 可测函数的积分都是关于给定的测度空间 (X , F ,µ) 的. 1. 设    ≥ < = , 1. 0, 1, ( ) 2 x x x F x µ F 是由 F 导出的 L-S 测度. 计算 ∫(0, +∞) . d F f µ 其中 ( ) . ( ,1) {1} (1,2] f x = aI + bI + cI −∞ 2. 设 A An , , 1 L 是[0, 1]中的 n 个 Lebesgue 可测集. 若每个 x ∈[0, 1]至少于这 n 个集中的 q 个, 则必存在某个 , Ai 使得 ( ) . n q m Ai ≥ 3. 设 f 是[0, 2π ]上的 L 可测函数并且 ( ) ln(1 ( ) ) . 2 0 + < +∞ ∫ f x f x dx π 证明 f 是[0, 2π ]上的 L 可积函数. 4. 设 µ1和 µ 2 是可测空间(X , F ) 上的两个测度. 证明 (i). µ1 + µ 2 是(X , F ) 上的测度. (ii). 若 f关于 µ1和 µ 2 都可积, 则 f关于 µ1 + µ 2 可积, 并且 ∫ ∫ ∫ ( + ) = + . µ1 µ 2 µ1 µ 2 fd fd fd 5. 设 f 为可测函数. 若存在正测度集 A, 使得当 x ∈ A 时, f (x) > 0, 则 > 0. ∫A fdµ 6. 证 明 : (i). 设 f 为可测函数 . 若对每个可测集 A, 均 有 ≥ 0, ∫A f dx 则 f ≥ 0 a.e. (ii). 设 f 和 g 是可积函数并且对任意可测集 A , 成 立 ∫ ∫ = A A fdµ gdµ. 则 f = g a.e.. 7. 设( ) n f 为可积函数列, f 为可测函数. 若 lim − = 0. ∫ →∞ f n f dµ n 则 f 可积. 8. 设 f , f (n ≥ 1) n 为可测函数 . 若 lim − = 0, ∫ →∞ f n f dµ n 则 f f . n →µ 9. 设 f 为有限测度空间上的可测函数. 则 f 可积的充要条件是对任给的