附录A应用举例 A1应用：定积分的数值计算 A1.1为什么要数值计算 考虑定积分 I=厂fx)z. A1) 在微积分中，我们可以使用Newton-Leibnit公式来计算，即 f'rGy-ro-r 其中F(工)是被积函数fe)的一个原函数.但是 ·在很多情况下，被积函数的原函数很难求出，或者原函数很复杂，如代句=1十云的原函数为 2+r++C F-a+信(-)+h ·原函数无法用初等函数表示，如 fa)=n,fa=e子，f回=+k和2五 ·在某些实际应用中，被积函数（工）的表达式是未知的，只是通过实验或测量等手段给出了某些离 散点上的值 在这些情况下，我们就需要考虑通过数值方法来计算定积分的近似值，即数值积分 A12定积分数值计算方法 假设定积分心（工）z存在，则根据定积分的定义，我们有 [fer=f6a.6e-A=五--ndr=器A 其中a=20<<2<…<工n-1<n=b是a,创的-个剖分，即 Ar. 为了方便计算，我们不妨对a,进行n等分，即取步长h=,令 x4=a+ih,i=0,1,2.,n. 1 附录 A 应用举例 A.1 应用: 定积分的数值计算 A.1.1 为什么要数值计算 考虑定积分 I = ∫ b a f(x)x. (A.1) 在微积分中, 我们可以使用 Newton­Leibnitz 公式来计算, 即 ∫ b a f(x)x = F(b) − F(a), 其中 F(x) 是被积函数 f(x) 的一个原函数. 但是 • 在很多情况下, 被积函数的原函数很难求出, 或者原函数很复杂, 如 f(x) = 1 1 + x 6 的原函数为 F(x) = 1 3 arctan x + 1 6 arctan ( x − 1 x ) + 1 4 √ 3 ln x 2 + x √ 3 + 1 x 2 − x √ x + 1 + C. • 原函数无法用初等函数表示, 如 f(x) = sin x x , f(x) = e −x 2 , f(x) = √ 1 + k 2 sin2 x. • 在某些实际应用中, 被积函数 f(x) 的表达式是未知的, 只是通过实验或测量等手段给出了某些离 散点上的值. 在这些情况下, 我们就需要考虑通过数值方法来计算定积分的近似值, 即数值积分. A.1.2 定积分数值计算方法 假设定积分 ∫ b a f(x)x 存在, 则根据定积分的定义, 我们有 ∫ b a f(x)x = lim ∆x→0 ∑n i=1 f(ξi)∆xi , ξi ∈ [xi−1, xi ], ∆xi = xi − xi−1, ∆x = max 1≤i≤n ∆xi , 其中 a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b 是 [a, b] 的一个剖分, 即 为了方便计算, 我们不妨对 [a, b] 进行 n 等分, 即取步长 h = b−a n , 令 xi = a + ih, i = 0, 1, 2, . . . , n. 1