第六章能带理论 上一章建立在量子理论基础上的金属自由电子理论,虽然取得了较大成功,能够解 释金属电子比热、热电子发射等物理问题,但仍有不少物理性质,如有些金属正的霍耳 系数,固体分为导体、半导体和绝缘体的物理本质,以及部份金属电导率有各向异性等, 是这个理论无法解释的。究其原因,是金属自由电子理论的假设过于简化,它假定晶体 中的势能为零,因而在其中运动的电子不受束缚而是自由的。实际上,晶体中的电子并 不自由,它的运动要受到组成晶体的离子和电子产生的晶体势场的影响。因此,严格说 来,要求解晶体中的电子状态,必须写出晶体中存在着相互作用的所有离子和电子的薛 定谔方程,再进行求解。由于1cm3的晶体包含10231025量级的原子和电子,这样复杂的 多体问题是无法严格求解的。为此,人们采用了三个近似,将问题进行简化。 第一个近似是绝热近似,也叫玻恩一奥本海默( Born-Oppenheimer)近似:由于电 子质量远小于离子质量,电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子,可认为离 子不动,或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。这样,在研究电子运动时, 可不考虑离子运动的影响,这就可把电子运动和离子运动分开来处理,即把多体问题化 为了多电子问题。 第二个近似是平均场近似:在上述多电子系统中,可把多电子中的每一个电子,看 作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动,这种考虑叫平均场近似。平均场的选取 视近似程度而定,如只考虑电子间的库仑相互作用,则为哈特里( Hartree)平均场。如 计及自旋,考虑电子间的库仑及交换相互作用,则为哈特里一福克( Hartree-Fock)平 均场。这些平均场的计算均要用自洽场方法,所以也叫自洽场近似。这样,就把一个多 电子问题化为单电子问题 第三个近似是周期场近似:假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期 势场,其周期为晶格所具有的周期。 通过这三个近似,晶体中的电子运动就简化为周期场中的单电子问题,这个单电子 的薛定谔方程为 Hy(r)=[v+V(rly(r)=ey(r) (6.1) 其中 V(r)=v(r+R,第六章 能带理论 上一章建立在量子理论基础上的金属自由电子理论，虽然取得了较大成功，能够解 释金属电子比热、热电子发射等物理问题，但仍有不少物理性质，如有些金属正的霍耳 系数，固体分为导体、半导体和绝缘体的物理本质，以及部份金属电导率有各向异性等， 是这个理论无法解释的。究其原因，是金属自由电子理论的假设过于简化，它假定晶体 中的势能为零，因而在其中运动的电子不受束缚而是自由的。实际上，晶体中的电子并 不自由，它的运动要受到组成晶体的离子和电子产生的晶体势场的影响。因此，严格说 来，要求解晶体中的电子状态，必须写出晶体中存在着相互作用的所有离子和电子的薛 定谔方程，再进行求解。由于 1cm3 的晶体包含 1023-1025量级的原子和电子，这样复杂的 多体问题是无法严格求解的。为此，人们采用了三个近似，将问题进行简化。 第一个近似是绝热近似，也叫玻恩—奥本海默（Born-Oppenheimer）近似：由于电 子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离 子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。这样，在研究电子运动时， 可不考虑离子运动的影响，这就可把电子运动和离子运动分开来处理，即把多体问题化 为了多电子问题。 第二个近似是平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看 作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。平均场的选取 视近似程度而定，如只考虑电子间的库仑相互作用，则为哈特里（Hartree）平均场。如 计及自旋，考虑电子间的库仑及交换相互作用，则为哈特里—福克（Hartree-Fock）平 均场。这些平均场的计算均要用自洽场方法，所以也叫自洽场近似。这样，就把一个多 电子问题化为单电子问题。 第三个近似是周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期 势场，其周期为晶格所具有的周期。 通过这三个近似，晶体中的电子运动就简化为周期场中的单电子问题，这个单电子 的薛定谔方程为 )()()]( 2 [)( 2 2 ψ V Eψψ rr m H r +∇−= r = h （6.1） 其中 )()( =VV + Rrr n （6.2） 1