改变这种状况,所给的二次积分是将D视为y-型区域,即D{y5xs√5,可见D是由 0≤y≤1 X=vx √ 及x=0,x=1围成的,如图9-9 现将D看作X一型区域, y≤x 0≤x<1 于是,[d √ y=4 i sinx 图99 sin xdx- xsin xdx=-cos x lo +xcos x lo- cos xdx=1-sinl [分析]从以上的讨论,有 (1)选择积分次序要考虑到两个因素:被积函数和积分区域,其原则是:要使二个积分 都能积分出来,且使计算尽量简单. (2)通过二重积分改变积分次序,其步骤是 由所给二次积分,写出D的不等式表示,还原为积分区域D,最好画出D的图形,再 将D按照选定的次序重新表示为不等式形式,写出新次序的二次积分 (3)改变积分次序可以作为证明积分等式的一种方法, 例设(x)在d上连续,证明∫d/()dk=(c-x)/(x 证明:由4(x)t得D 0≤x≤y losy≤c 如图9-10 改变积分次序,D 0sxsc’所以 左边=af(x)=(c—x)f(x)x=右边证毕 问题3在定积分中,利用被积函数的奇偶性,可简化对称 图9-10 区间上积分的计算,重积分中有类似的情况吗? 答:在多元积分的计算中也可利用对称性来简化计算设∫(x,y)在D上连续,以利用 对称性计算二重积分为例,主要有以下几种情况: (1)如果D关于y轴对称,则v(x,y)∈D,有 f(x,y)关于x为奇函数 /(xy)的=1/xyhy关于x为偶函数 其中D={(x,y)(x,y)∈D,x20}改变这种状况，所给的二次积分是将 D 视为 Y − 型区域，即 : 0 1 y x y D y        ，可见 D 是由 x y x y = = , 及 x x = = 0, 1 围成的，如图 9-9 现将 D 看作 X − 型区域， 2 : 0 1 x y x D x        ， 于是， 2 1 1 1 2 0 0 0 sin sin sin ( ) y x y x x x x dy dx dx dy x x dx x x x = = −      1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 = − = − + − = − sin sin cos | cos | cos 1 sin1 xdx x xdx x x x xdx    . [分析] 从以上的讨论，有 （1）选择积分次序要考虑到两个因素：被积函数和积分区域，其原则是：要使二个积分 都能积分出来，且使计算尽量简单. （2）通过二重积分改变积分次序，其步骤是： 由所给二次积分，写出 D 的不等式表示，还原为积分区域 D ，最好画出 D 的图形，再 将 D 按照选定的次序重新表示为不等式形式，写出新次序的二次积分. （3）改变积分次序可以作为证明积分等式的一种方法， 例 设 f x( ) 在 0,c 上连续，证明 0 0 0 ( ) ( ) ( ) c y c dy f x dx c x f x dx = −    . 证明：由 0 0 ( ) , c y dy f x dx   得 0 : 0 x y D y c        ， 如图 9-10 改变积分次序， : 0 x y c D x c        ，所以 左边 0 0 ( ) ( ) ( ) c c c x = = − = dx f x dx c x f x dx    右边.证毕. 问题 3 在定积分中，利用被积函数的奇偶性，可简化对称 区间上积分的计算，重积分中有类似的情况吗？ 答：在多元积分的计算中也可利用对称性来简化计算.设 f x y ( , ) 在 D 上连续，以利用 对称性计算二重积分为例，主要有以下几种情况： （1）如果 D 关于 y 轴对称，则   ( , ) x y D ，有 1 0, ( , ) ( , ) 2 ( , ) . ( , ) D D f x y x f x y dxdy f x y dxdy f x y x   =      关于 为奇函数 关于 为偶函数 其中 D x y x y D x 1 =   ( , ) | ( , ) , 0