(2)如果D关于x轴对称,则V(x,y)∈D,有 f(x,y)关于y为奇函数 「(xyb订1xyy)关于为偶函数 D2 其中D2={(x,y)(x,y)∈D,y20} (3)如果D关于原点对称,则v(x,y)∈D,有 0, f(-x,-y)=-f(x,y) f(x, y)dxdy=12(ff(x, y)dxdya*2[/(x, y)drdy /(x-y)=f(x,y) 其中D,D2同上 (4)如果D关于直线y=x对称,则f(x,y)d=/(x)d 以上前三种情况类似于奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,(4)则是二重积分的特殊性 质 例设D={(x,y)|x2+y2≤1},则 (1) J2-x-yydxdy=[V2drxdy-xdxdy-J dhy=√2 (2)(x2+y2)doh=4订j(x2+y),D3={(x,y)x2+y21x20,y≥0} (3) -dxdy= B f(x)+f() -dxdy f(x)+f() 由此,得 f() dxdy=dxdy=i f(x)+f() f(x)+f() 问题4在什么情况下,用极坐标求二重积分可以简化计算? 答:如果被积函数为∫(x2+y2)或积分区域D为圆域,圆环域或扇形域时,利用极坐 标计算二重积分较简单 例如:1. e- dxdy, D:x2+y2≤R2 2.y+ydh,D:y=0y=x,x2+y2=2x所围成 arctan dxd D:1≤x2+y2≤4,0≤y≤x 都适合用极坐标计算解答见典型例题部分的例8（2）如果 D 关于 x 轴对称，则   ( , ) x y D ，有 2 0, ( , ) ( , ) 2 ( , ) . ( , ) D D f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y   =      关于y为奇函数 关于y为偶函数 其中 D x y x y D y 2 =   ( , ) | ( , ) , 0 （3）如果 D 关于原点对称，则   ( , ) x y D ，有 1 2 0, ( , ) ( , ), ( , ) 2 ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) D D D f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y  − − = −  =  − − =      或 其中 1 2 D D, 同上. （4）如果 D 关于直线 y x = 对称，则 ( , ) ( , ) D D f x y dxdy f y x dxdy =   以上前三种情况类似于奇、偶函数在对称区间上的定积分性质，（4）则是二重积分的特殊性 质. 例 设 D   2 2 = +  ( , ) | 1 x y x y ，则 （1） ( 2 ) 2 2 D D D D − − = − − = x y dxdy dxdy xdxdy ydxdy      . （2） 3 2 2 2 2 ( ) 4 ( ) D D x y dxdy x y dxdy + = +   ，   2 2 3 D x y x y x y = +    ( , ) | 1, 0, 0 （3） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D D f x f y dxdy dxdy f x f y f x f y = + +   由此，得： ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 D D D f x f y dxdy dxdy dxdy f x f y f x f y  = = = + +    . 问题 4 在什么情况下，用极坐标求二重积分可以简化计算？ 答：如果被积函数为 2 2 f x y ( ) + 或积分区域 D 为圆域，圆环域或扇形域时，利用极坐 标计算二重积分较简单. 例如： 1. 2 2 x y D e dxdy − −  ， D : 2 2 2 x y R +  2. 2 2 D x y dxdy +  ， D : 2 2 y y x x y x = = + = 0, , 2 所围成. 3. arctan D y dxdy x  D : 2 2 1 4,0  +    x y y x . 都适合用极坐标计算,解答见典型例题部分的例 8