第一章等切面曲线和相似曲线 3 p: dsolve(eq,y(x)): p:=V-y(x)2+a-2-aarctanh( +x=C1 y(x)2+ y(e)2+a"+a arctan( y(x)2+ 并得到两个解.从初始条件y(0)=a和物理学,对于a>0,可得y(m)>0和y(x)<0.因此,第 一个解是我们问题的正确答案 P[1] V-y(a)2+a-a arctan( )+x=C1 我们得到隐式的解v(x).为了求积分常数c1,我们利用约束lmx→0(x)=a >-_C1: limit(lhs(subs(x=o, y(x=y), P[1])),y=a) 于是,解满足方程 y(a)"+a-a arctan( )+x=Ia^丌 V-y(x)2+ 由 MAPLE53,可得到实表达式 a2-y(a)"-a arctan 当然,我们也可在方程(12)和(1.3)中,互换变量和y得到这些方程.值得注意的是,因为对 x=0,有奇异性y(0)=∞,所以用数值方法解方程(14)是困难的 13小孩和玩具 让我们解决一个更一般的问题,假设一个小孩在平面上沿一曲线行走,此曲线由两个时间的 函数X(t)和Y(t)确定 假设此小孩借助长度为a的硬棒,拉或推某玩具,当此小孩沿曲线行走时,我们计算玩具的 轨迹.设(x(t),y(t)是玩具的位置 从图1.2可得下列方程 1.(X(t),Y(t)与(x(t),y(t)之间的距离总是硬棒的长度,于是 (X-x)2+(Y-y)2 (1.5) 2.玩具总是在硬棒的方向上运动,因此,两个位置的差向量是玩具的速度向量的倍数,vr X-a 其中入>0. (16)