高等数学教案 第一章函数与极限 第九节连续函数的运算与初等函数的连续性 教学内容：连续函数的运算与初等函数的连续性 教学目标：通过本节的教学，使学生了解初等函数的连续性，掌握连续函数的运算规则及 其反函数与复合函数的连续性。 教学重点：反函数与复合函数的连续性以及连续函数的运算 教学难点：反函数与复合函数的连续性 教学方法：新课讲授法 作业：p691,3,4,6. 教学过程： 一、连续函数的和、积及商的连续性 定理1 设函数x)和g(x)在点xo连续，则函数 ±g,)g,f (当g()≠0时) g(x) 在点和也连续。 x)gx)连续性的证明： 因为x)和gx)在点xo连续，所以它们在点x0有定义，从而x)士g)在点0也有定义，再由 连续性和极限运算法则，有 lim[fx)±g(x]=lim f()±limg(x)=f(xo)±g(xo) x→ t)X →天 根据连续性的定义，x)±g()在点xo连续. 例1.sinx和cosx都在区间(-oo,+oo)内连续，故由定理3知tanx和cotx在它们的定义域内 是连续的， 三角函数sinx,cosx,secx,cscx,tanx,cotx在其有定义的区间内都是连续的. 二、反函数与复合函数的连续性 定理2如果函数x)在区间1上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数x=fy)也在 对应的区间I,=b=x)xeI;上单调增加（或单调减少）且连续。 证明（略）· 例2.由于)=sinx在区间[-受，]上单调增加且连续，所以它的反函数=-arcsinx在区间[-L