高等数学教案 第一章函数与极限 1]上也是单调增加且连续的. 同样，y=arccosx在区间[-l,1]上也是单调减少且连续；y=arctanx在区间(-oo,+oo)内单调增加 且连续-arccotx在区间(-o,+oo)内单调减少且连续， 总之，反三角函数arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx在它们的定义域内都是连续的. 定理3设函数y=几gx)]由函数y=w)与函数=gx)复合而成， 0(x,)cDg·若Iimg()=4,而函数=0在4连续，则 lim fg(x)]=lim f(u)=f(uo) 简要证明要证VE>0,30,当0<-xok6时，有Mgx)]-(o)<￡. 因为fw)在o连续，所以Ve>0,3>0,当u-uokn时，有(W)-uo)ke. 又g(x)→o(xxo),所以对上述P0,30,当0<r-x0<6时，有lg(x)-udk7. 从而[g(x)]-fuol<e. (2)定理的结论也可写成im几g(x]=九mg(】.求复合函数g]的极限时，函数符号f 与极限号可以交换次序 lim几u(x]=lim f(u)表明，在定理3的条件下，如果作代换=gx),那么求imf几g(x]就转化 → x→x心 为求lim f(u）,这里4o=limg(x). W xT 把定理5中的xxo换成x0,可得类似的定理. 例3.求li x-3 3x2-9 解：lim, x-3 x-3Vx2-9 /limx-3 V3x2-9 =6 提示： x-3 y=x2-9 是由y=m与M=-3复合而成的： x2-9 m二号石，函数y=6在点u=名连续=go lim x-31 6 定理4设函数)=[g(x]由函数y=u)与函数=gx)复合而成，U(x0)CDyg·若函数=gx)在点 x连续，函数y=w)在点o=g(xo)连续，则复合函数y=几4x)]在点xn也连续. 证明：因为o(x)在点xo连续，所以1im(x)=0o)=4o. 又y=w在点=o连续，所以lim[x)】=uo)=1oxo]. 2