高等数学教案 第一章函数与极限 这就证明了复合函数九x)]在点xo连续. 例4.讨论函数y=sin1的连续性 解：函数y=sin上是由y=sinu及u=L复合而成的. sinu当-o<<+oo时是连续的， 当-0<r<0和0<r<+o时是连续的， x 根据定理4，函数sinL在无限区间(-o,0)和(0，+o)内是连续的. 1 三、初等函数的连续性 在基本初等函数中，我们己经证明了三角函数及反三角函数的它们的定义域内是连续的 我们指出，指数函数ad(a>0,a≠1)对于一切实数x都有定义，且在区间(-0，+o)内是单调的和 连续的，它的值域为(0，+o). 由定理4，对数函数logx(a>0,a≠1)作为指数函数a的反函数在区间(0，+oo)内单调且连续. 幂函数y=x的定义域随的值而异，但无论4为何值，在区间(0，+0)内幂函数总是有定义的， 可以证明，在区间(0，+)内幂函数是连续的.事实上，设x>0,则 =x=a1oa,因此，幂函数x可看作是由=a,=ogx复合而成的，由此，根据定理6， 它在(0，+∞)内是连续的如果对于取各种不同值加以分别讨论，可以证明幂函数在它的定义 域内是连续的 结论：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的. 最后，根据初等函数的定义，由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论： 仁切初等函数在其定义区间内都是连续的 所谓定义区间，就是包含在定义域内的区间. 初等函数的连续性在求函数极限中的应用： 如果x)是初等函数，且xo是x)的定义区间内的点， 则1imx)=fxo). 工→m 例5.求1im1-x2. 解：初等函数x)=1-x2在点=0是有定义的， 所以im√-x2=f=1. r-0