几率是相同的,这是晶体周期性的反映。显然,布洛赫定理的两种形式是等价的。下面 我们就来证明布洛赫定理。 6.1.1布洛赫定理的证明 晶体势场的周期性是晶格平移对称性的反映,即晶格在平移对称操作下是不变的 如果用T(Rn)表示使位矢r变到r+Rn的平移操作相当的算符,则其意义是T(R;)作 用在任意函数f()上便产生函数f(r+Rn),即 T(R,f(r)=f(r+R) (66) 平移算符与晶体中电子的哈密顿量是对易的。因为对于任意函数(r)有 T(R,H(rP(r)=H(r+R,o(r+R,) (67) H(rT(R,P(r) [T(Rn),H]=0 量子力学已证明,可对易的算符具有共同的本征函数集。这样,可将对H(r)本征函 数的讨论,代之以对T(Rn)本征函数的讨论。令v(r)为H(r)和7(Rn)共同的本征函数,则 T(R,y(r=y(r+R)=Ay(r) (69) 由于晶格具有平移对称性,因而要求在平移操作下,波函数模的平方是不变的,即 ly(r+R,=ay(r)l=ly(r) 上式表明A,必为下列形式的复数 An=exp(ien) (6.10) 其中b为实数,故bn总可写成下列形式 8.=8o+k R 当Rn=0时,晶格没有平移,故要求λ=1,这样必有6o=0,于是 6n=k·Rn (6.11)几率是相同的，这是晶体周期性的反映。显然，布洛赫定理的两种形式是等价的。下面 我们就来证明布洛赫定理。 6.1.1 布洛赫定理的证明 晶体势场的周期性是晶格平移对称性的反映，即晶格在平移对称操作下是不变的。 如果用 表示使位矢 r 变到 的平移操作相当的算符，则其意义是 作 用在任意函数 f (r)上便产生函数 )( T Rn + Rr n )( T Ri )( + Rr n f ，即 )()()( = + RrrR i n ffT （6.6） 平移算符与晶体中电子的哈密顿量是对易的。因为对于任意函数ϕ r)( 有 )()()( )()()()()( rRr rR RrRr ϕ ϕ ϕ n n n TH n HT H = r = + + （6.7） 即 HT = 0]),([ Rn （6.8） 量子力学已证明，可对易的算符具有共同的本征函数集。这样，可将对H(r)本征函 数的讨论，代之以对T(Rn)本征函数的讨论。令ψ r)( 为H(r)和T(Rn)共同的本征函数，则 ψ ψ λ ψ rRrrR )()()()( T n = + n = n （6.9） 由于晶格具有平移对称性，因而要求在平移操作下，波函数模的平方是不变的，即 2 2 2 ψ Rr =+ = ψψλ rr |)(||)(||)(| n n 上式表明λi 必为下列形式的复数 )exp( n n λ = iθ （6.10） 其中θ n 为实数，故θ n 总可写成下列形式 n Rk n = + ⋅ θ θ 0 当 Rn =0 时，晶格没有平移，故要求 1 λ0 = ，这样必有 0 θ 0 = ，于是 n Rk n θ ⋅= （6.11） 3