·384· 智能系统学报 第8卷 以上的运动学或动力学模型都没有考虑轮子和 =ucos 0, 地面之间的摩擦，假设轮子与地面之间的摩擦力可 y =u sin 0, 以用粘性摩擦及转动摩擦描述，文献[28]提出该类 机器人的动力学方程为 u2, 1 [cos 0, 0=utan y usin 0. 式中：41为驱动轮的前向速度，2为转向轮速度， 0=w, 此外，Dong[3)研究了非完整链式模式下的多智 mw=-7e+(T1+T2）/b, 能体编队控制问题刘)提出了一种新的运动学模 型，用笛卡儿坐标建模完成多机器人系统的队形控 lo=-ω+(T1-T2)/b. 制需要指出的是，现有文献中，对移动机器人编队 式中：T1、T2分别表示机器人左右驱动轮的驱动力 控制问题的研究，基本上考虑的是机器人的运动学 矩（控制输入），m表示机器人的质量，I表示机器 模型或简化的动力学模型，而在大范围空间中运动 人关于质心的转动惯量，b为后轮半径，刀、中分别 的机器人可以看作是质点，机器人内部的动力学特 为粘性摩擦与转动摩擦系数，可通过实验获得不同 性常常被忽略.然而，在实际的应用中，这样做是不 地面的具体数值，详细的实验过程可参见文献[29]. 合理的，因为当机器人的质量较大或运动速度较快 3)小汽车型机器人模型 时，运动学模型无法反映机器人运动的真实情形.因 除了上述2种关注度比较高的模型外，M.Mur- 此，有必要将机器人的动力学特性考虑在内，建立更 ray和S.S.Sastry[1最早考察一类小汽车型机器人 为完整的机器人动力学模型。 的运动学模型.如图4所示，该模型由后轮在笛卡尔 1.3队形形状表示 坐标系中的位置(x,y)、机器人相对于水平方向的 编队控制可以实现不同的队形形状，常见的有 柱形（排形）、直线型、三角形、菱形、楔形以及圆形 方向角0、方向轮相对于车体的角度”共同确定小 等，图5中给出了一些常见的队形形状.其中，圆形 汽车型机器人的运动状态，即(x,y,P,)构成了小 通常通过多边形来实现，如4个机器人组成的菱形 汽车型机器人的状态量，而2个输入量为驱动轮和 和5个机器人组成的五边形 转向轮的速度. RR R田团 团R, (a)直线形 b)楔形 图4小汽车型机器人模型 R R 团R, 由 Fig.4 Car-type robot model 守 小汽车型机器人的约束来源于该机器人轮子的旋 河 转与绕中轴拐弯，但是不能打滑.对前轮和驱动轮的约 (c)柱型 (d)三角形 (e)菱形 ()双排形 束由轮子的侧向速度为零来表征，用公式描述如下： 图5编队控制中常见的队形形状 d dt x+lcos9)×sin(0+p)- Fig.5 Common shapes in formation control 为了建立与维持某一队形形状，首要的问题是 y+lsin0)）×cos(0+p)=0, d 如何表示队形.对于具体队形形状的表示方法，文献 [33]提出了基于非循环有向图的控制图来表示机 xsin 0-ycos 0 =0. 器人及其相邻机器人之间的关系，进而表示队形形 由上面的约束，M.Murray和S.S.Sastry得到了 状文献[34]提出了虚拟结构的概念，将机器人看成 该系统的运动学方程为 一个刚体结构内部的点来表示队形形状.文献[35]以上的运动学或动力学模型都没有考虑轮子和 地面之间的摩擦，假设轮子与地面之间的摩擦力可 以用粘性摩擦及转动摩擦描述，文献［２８］提出该类 机器人的动力学方程为 ｘ · ＝ ｖｃｏｓ θ， ｙ · ＝ ｖｓｉｎ θ， θ · ＝ ω， ｍｖ · ＝ － ηｖ ＋ （τ１ ＋ τ２ ） ／ ｂ， Ｉω · ＝ － ψω ＋ （τ１ － τ２ ） ／ ｂ． ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï 式中： τ１ 、 τ２ 分别表示机器人左右驱动轮的驱动力 矩（控制输入）， ｍ 表示机器人的质量， Ｉ 表示机器 人关于质心的转动惯量， ｂ 为后轮半径， η 、 ψ 分别 为粘性摩擦与转动摩擦系数，可通过实验获得不同 地面的具体数值，详细的实验过程可参见文献［２９］． ３）小汽车型机器人模型． 除了上述 ２ 种关注度比较高的模型外，Ｍ． Ｍｕｒ⁃ ｒａｙ 和 Ｓ． Ｓ． Ｓａｓｔｒｙ ［３０］最早考察一类小汽车型机器人 的运动学模型．如图 ４ 所示，该模型由后轮在笛卡尔 坐标系中的位置 （ｘ，ｙ）、 机器人相对于水平方向的 方向角 θ 、方向轮相对于车体的角度 φ 共同确定小 汽车型机器人的运动状态，即 （ｘ，ｙ，φ，θ） 构成了小 汽车型机器人的状态量，而 ２ 个输入量为驱动轮和 转向轮的速度． 图 ４ 小汽车型机器人模型 Ｆｉｇ．４ Ｃａｒ⁃ｔｙｐｅ ｒｏｂｏｔ ｍｏｄｅｌ 小汽车型机器人的约束来源于该机器人轮子的旋 转与绕中轴拐弯，但是不能打滑．对前轮和驱动轮的约 束由轮子的侧向速度为零来表征，用公式描述如下： ｄ ｄｔ （ｘ ＋ ｌｃｏｓ θ） × ｓｉｎ（θ ＋ φ） － ｄ ｄｔ （ｙ ＋ ｌｓｉｎ θ） × ｃｏｓ（θ ＋ φ） ＝ ０， ｘ · ｓｉｎ θ － ｙ · ｃｏｓ θ ＝ ０． ì î í ï ï ï ï ï ï 由上面的约束，Ｍ． Ｍｕｒｒａｙ 和 Ｓ． Ｓ． Ｓａｓｔｒｙ 得到了 该系统的运动学方程为 ｘ · ＝ ｕ１ ｃｏｓ θ， ｙ · ＝ ｕ１ ｓｉｎ θ， φ · ＝ ｕ２ ， θ · ＝ ｕ１ １ ｌ ｔａｎ φ． ì î í ï ï ï ï ï ï ïï 式中： ｕ１ 为驱动轮的前向速度， ｕ２ 为转向轮速度． 此外，Ｄｏｎｇ ［ ３１］研究了非完整链式模式下的多智 能体编队控制问题．Ｌｉ ［ ３２］ 提出了一种新的运动学模 型，用笛卡儿坐标建模完成多机器人系统的队形控 制．需要指出的是，现有文献中，对移动机器人编队 控制问题的研究，基本上考虑的是机器人的运动学 模型或简化的动力学模型，而在大范围空间中运动 的机器人可以看作是质点，机器人内部的动力学特 性常常被忽略．然而，在实际的应用中，这样做是不 合理的，因为当机器人的质量较大或运动速度较快 时，运动学模型无法反映机器人运动的真实情形．因 此，有必要将机器人的动力学特性考虑在内，建立更 为完整的机器人动力学模型． １．３ 队形形状表示 编队控制可以实现不同的队形形状，常见的有 柱形（排形）、直线型、三角形、菱形、楔形以及圆形 等，图 ５ 中给出了一些常见的队形形状．其中，圆形 通常通过多边形来实现，如 ４ 个机器人组成的菱形 和 ５ 个机器人组成的五边形． 图 ５ 编队控制中常见的队形形状 Ｆｉｇ．５ Ｃｏｍｍｏｎ ｓｈａｐｅｓ ｉｎ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｃｏｎｔｒｏｌ 为了建立与维持某一队形形状，首要的问题是 如何表示队形．对于具体队形形状的表示方法，文献 ［３３］提出了基于非循环有向图的控制图来表示机 器人及其相邻机器人之间的关系，进而表示队形形 状．文献［３４］提出了虚拟结构的概念，将机器人看成 一个刚体结构内部的点来表示队形形状．文献［３５］ ·３８４· 智 能 系 统 学 报 第 ８ 卷