9.2整环和域 定理9.3：有限整环都是域。 证：设<R,+,·>是有限整环，R={,,…,n},不妨设=0， 片=1，考虑R-{0}={,2,…,n}则只需证r∈R-{0}有逆元， r:∈{i,2,…,n,则{5●，5●1，…，●n}∈R, 由整环中的消去律，1≠时，≠，即 {,51,…,n的元素互异，故{，，…，rm}=R, 于是存在，使得1=1，即1是的逆元。 ·定理9.4：Z(指<Zp,+p,×p>)为域的充要条件是p是 素数。 8/738/73 9.2 整环和域 •定理9.3：有限整环都是域。 •定理9.4： 为域的充要条件是p是 素数。 于是存在 ，使得 ，即 是 的逆元。 的元素互异，故 ， 由整环中的消去律， 时， ，即 ，则 ， ，考虑 ，则只需证 有逆元， 证：设 是有限整环， ，不妨设 ， j i j j i i i i n i i i n i k i l i n i i i n n i n r r r r r r r r r r r r r r r r r R l k r r r r r r r r r r r r r r R r R r r r r R R R r r r r 1 { , , , } { , , , } { , , , } { , , , } 1 {0} { , , , } {0} , , { , , , } 0 0 1 0 1 1 2 0 1 1 1 2 0 1 0 • = • • • • • • =  •  •   • • •  = − =   −  + •  = =       (  ,+ , ) Zp 指 Zp p p