涂湾洁，张广铭：一维量子白旋链中拓扑有序态的物理描述 V.总结与展望 的自旋1/2自旋子((spinon).虽然自旋S>1/2的海 致谢 堡模型不存在严格解，但人们长期以来认为这类体系 的物理性质与自旋1/2情形定性相似。 参考文献 然而，Haldane在1g83年提出了著名的Haldane结 想6习：自旋为S的量子反铁磁海森堡模型应分为整 1.引言 数自旋和半奇整数自旋两个不同的普适类，整 旋情形下体系其有有限能 ,自旋- 自旋两点关联 从二十世纪初量子力学建立以来，人们在原子尺 数随距离 指数形式衰减 奇整数情形 度上对自然界微观规律的认识进入了新的时代， 自旋-自旋两点关联函数随距离呈幂律形式刻 尽管这 子力学基本理论在解释各种物理实验现象及应用领域 猜想利用的半经典近似在大S极限下才 可控， 但很快S=1反铁磁海森堡链的数值计算结果 上都取得了巨大的成功。另一方面，在面对由大量原 证实了Haldane猜想。 子组成的多粒子体系时，尽管微观拉子的运动规律满 足量子力学的运动方程-薛定谔方程，但求解粒子数 随后，Affleck,Kennedy,Lieb和Tasaki(AKLT)通 在1023量级上的量子关联体系对应的薛定谔方程在可 自旋链纷 以预见的将来都是一个不可能完成的任务。随着高 ence Be )波函数 温超导、量子霍尔效应等众多新奇的宏观量子效应的 这类VBS 中的自 发现，人们逐渐认识到大量粒子组成复杂体系之后 距离呈指数形式衰减 ,它们对应的AKLT哈密顿量日 系统的整体行为不能通过其微观组 单元的性质 能隙可严格证明，因而这类体系具各Haldane猜想 得到 因此，在量子关联多体系统 所预言的特征。有趣的是，在开放边界条件下，自 我新的万 发展新的概之 旋为S的VBS态在链的两端冬出现一个近自由的自 直是物理学研究中的重要 域的不断发展还推动了一种新的科学研究指导思 旋S/2边缘态。虽然AKLT模型与标准的海森堡模型 想-演生论(Emergence),即认为自然界依据尺度和复 形式不同，但人们普前相信它们包含的物理定性相同 杂性分为不同的层次，每一个层次都有其特有的基本 AKT模型中自旋间的高阶相互作用项可以看作对海 保模的微扰」 规律，并与其组成部分的微观细节相对独立。诺贝尔 1/ 作过多种实 物理奖得主P.W.Anderson对演生论的一个精辟说法 H.Nz)2NOz( 是：More is different。 1的准 材料进行 究 he 量子关联多体系统中的 个重要领域是对量子 自旋1/2边缘态均被证实 基于 些发现，结合密度关 车重整化群的数值计算证据，人们普遍接受了VBS图 自旋系统的研究。早在量子力学建立初期的1931年 Bethes就对一维量子自旋1/2反铁磁海森堡链进行了 像和边缘态是整数自旋链中Haldane相的基本特征 研究刊，开辟了量子自旋链研究的篇章。对于高维 然而，随着自旋S的增大，描述体系所需的自由度 情形下的反铁磁体，Anderson等人在五十年代发展了 增加，在大自旋的量子多体系统中可能存在与上述图 自存波理论2，，而言了高维的反铁磁旗查保遵型且 像不同的新的量子物态。 是香存在新的物态？怎样刻 有长程序，低能元激发为无能限的自旋波模式。然 这些新的物？这些正是我们关心的重要避 而，Mermin-Wagner--Coleman?定理，司指出，即使在零 从实验的角度来看，周体材料中的大自旋通常需 温，量子涨落也会禁止一维具有连续对称性的体系中 要洪特(Hmd)相互作用产生，自旋S>2的情形并不 产生反铁磁长程序 这使得 一维量子自旋系统中可能 多见。近年来，快速发居的超冷原子体系提供了一个 存在许多不同寻常的物理 新的研究大自旋量子多体系统的实验平台。2002年。 与量子自旋系统相关的物理研究涉及凝聚态物 德国的Greiner等人率先在光晶格中实现了玻色原子 理、量子场论、数学物理等多个研穷领或。一肖品物理 从超流态到ott绝缘态的量子相变，开启了利用 联休系的先 学发展中的常吉树.为研究这类体系的物理性质，人 超 原子体系研究量子关 超冷原子 们发展了许名解析方法，如可积模型、玻色化、共形 仅环境 统的合 函论等许多右力的丁且 结合多种方法，人们得知自 进行调 因间 人们有望 ]冷原子系统来模拟 长程序 统的强关联电子体系，甚至以人工量子调控的方式 函数呈 幂律形式衰诚， 低能激发为分数化 更多的研究对象中寻找新的量子物态。在超冷原子体 1994-2019 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved. http:/www.cnki.ne2 涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 V. 总结与展望 29 致 谢 30 参考文献 30 I. 引言 从二十世纪初量子力学建立以来，人们在原子尺 度上对自然界微观规律的认识进入了新的时代， 量 子力学基本理论在解释各种物理实验现象及应用领域 上都取得了巨大的成功。 另一方面，在面对由大量原 子组成的多粒子体系时，尽管微观粒子的运动规律满 足量子力学的运动方程–薛定谔方程， 但求解粒子数 在1023量级上的量子关联体系对应的薛定谔方程在可 以预见的将来都是一个不可能完成的任务。 随着高 温超导、量子霍尔效应等众多新奇的宏观量子效应的 发现，人们逐渐认识到大量粒子组成复杂体系之后， 系统的整体行为不能通过其微观组成单元的性质外推 得到。因此，在量子关联多体系统中寻找新的方法， 发展新的概念一直是物理学研究中的重要问题。 这 一领域的不断发展还推动了一种新的科学研究指导思 想–演生论(Emergence)，即认为自然界依据尺度和复 杂性分为不同的层次，每一个层次都有其特有的基本 规律， 并与其组成部分的微观细节相对独立。诺贝尔 物理奖得主P. W. Anderson对演生论的一个精辟说法 是：More is different。 量子关联多体系统中的一个重要领域是对量子 自旋系统的研究。早在量子力学建立初期的1931年， Bethe就对一维量子自旋1/2反铁磁海森堡链进行了 研究[1]，开辟了量子自旋链研究的篇章。 对于高维 情形下的反铁磁体，Anderson等人在五十年代发展了 自旋波理论[2,3]， 预言了高维的反铁磁海森堡模型具 有长程序，低能元激发为无能隙的自旋波模式。 然 而，Mermin-Wagner-Coleman定理[4,5]指出，即使在零 温，量子涨落也会禁止一维具有连续对称性的体系中 产生反铁磁长程序。 这使得一维量子自旋系统中可能 存在许多不同寻常的物理。 与量子自旋系统相关的物理研究涉及凝聚态物 理、量子场论、数学物理等多个研究领域，一直是物理 学发展中的常青树。 为研究这类体系的物理性质，人 们发展了许多解析方法，如可积模型、玻色化、共形 场论等许多有力的工具。 结合多种方法，人们得知自 旋1/2量子反铁磁海森堡链基态没有长程序，自旋–自 旋两点关联函数呈幂律形式衰减，低能激发为分数化 的自旋1/2自旋子(spinon)。虽然自旋S > 1/2的海森 堡模型不存在严格解，但人们长期以来认为这类体系 的物理性质与自旋1/2情形定性相似。 然而，Haldane在1983年提出了著名的Haldane猜 想[6,7]： 自旋为S的量子反铁磁海森堡模型应分为整 数自旋和半奇整数自旋两个不同的普适类， 整数自 旋情形下体系具有有限能隙，自旋–自旋两点关联函 数随距离呈指数形式衰减，半奇整数情形下体系无 能隙， 自旋–自旋两点关联函数随距离呈幂律形式衰 减。尽管这一猜想利用的半经典近似在大S极限下才 可控， 但很快S = 1反铁磁海森堡链的数值计算结果 证实了Haldane猜想。 随后，Affleck，Kennedy，Lieb和Tasaki (AKLT)通 过构造严格可解模型的方法为量子整数自旋链给 出一个清晰的 Valence Bond State (VBS) 波函数图 像[8,9]。 这类VBS态中的自旋–自旋两点关联函数随 距离呈指数形式衰减，它们对应的AKLT哈密顿量的 能隙可严格证明， 因而这类体系具备Haldane猜想 所预言的特征。有趣的是，在开放边界条件下， 自 旋为S的VBS态在链的两端各出现一个近自由的自 旋S/2边缘态。 虽然AKLT模型与标准的海森堡模型 形式不同，但人们普遍相信它们包含的物理定性相同， AKLT模型中自旋间的高阶相互作用项可以看作对海 森堡模型的微扰。 在实验方面，通过多种实验手段 对Ni(C2H8N2)2NO2(ClO4) (NENP)，Y2BaNiO5等自 旋S = 1的准一维磁性材料进行研究，Haldane能隙和 自旋1/2边缘态均被证实。基于这些发现，结合密度矩 阵重整化群的数值计算证据，人们普遍接受了VBS图 像和边缘态是整数自旋链中Haldane相的基本特征。 然而，随着自旋S的增大，描述体系所需的自由度 增加，在大自旋的量子多体系统中可能存在与上述图 像不同的新的量子物态。 是否存在新的物态？怎样刻 画这些新的物态？这些正是我们关心的重要问题。 从实验的角度来看，固体材料中的大自旋通常需 要洪特(Hund)相互作用产生，自旋S > 2的情形并不 多见。 近年来，快速发展的超冷原子体系提供了一个 新的研究大自旋量子多体系统的实验平台。 2002年， 德国的Greiner等人率先在光晶格中实现了玻色原子 从超流态到Mott绝缘态的量子相变[10]， 开启了利用 超冷原子体系研究量子关联体系的先河。 在超冷原子 体系中，不仅环境非常纯净，而且系统的众多参数可 以进行调节。因而，人们有望用冷原子系统来模拟传 统的强关联电子体系，甚至以人工量子调控的方式在 更多的研究对象中寻找新的量子物态。 在超冷原子体