《物理学进展》：一维量子子自自旋链中拓扑有序态的物理描述（清华大学：涂鸿浩、张广铭）

一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 涂鸿浩，张广铭 诗华大学物理系，北京100084 摘要：一维量子多体系是聚态物理学中的重研究方向之一。其中的新奇量子物本是 要的研究课题。本文我们首先简要回顾一维量子整数白旋链体系的相关研究背景，然后提出 一类SOm)对称的严格可解量子自旋链模型及其矩阵乘积基态。当奇数n≥3时，体系的基 态为Haldane相。利用这类态中隐藏的稀薄反铁磁序，我们找到了刻画这类态的非局域弦序参 量，并在隐藏拓扑对称性的统一框架下解释了稀薄反铁磁序以及边缘态等奇特现象的起源。当偶 数n≥4时，体系的基态为二聚化态，这些态属于破缺平移对称性的非Haldane相，但同样具有 隐藏的反铁磁序。通过这些严格解的研究，我们还得到了一维SO()对称的双线性-双二次模型 的基态相图，并发现在n≥5时，一维SO()对称的反铁磁海森堡模型的基态处于二聚化相中。 基于以上这些结果，我们推广构造了一锥平移不变且包含李群G对称性的Va ence Bon State(VBS)态，并利用其矩阵乘积表示讨论了对应哈密倾量的构造方法。对于自旋为S的 量子整数白旋链 我们研究了两类具有不同拓扑属性的VBS类，前一 的边缘态 价 我们还 方式 的魔 关罐词：量子自旋结，知阵积态拓扑序，：体 中图分类号：041 文献标识码：A 目 录 。基态函数的 1.引言 Ⅱ。一维量子白旋链体系概述 06阵积：指广的S=2VBS志 1。一维反铁融害森堡模型的低能有效现论 C.S0(2)情形：具有二重筒并的二聚化基态 22345667 wt定量子自旋链模型 25O4)阵积态：自旋-轨道价健品体 1.M a-Ghosh模 Kennedy--Lieb-Tasakit模型 89 V.拓扑不等价的VBS态及其对应的哈老倾量 维sO(m)对称的严格可解量子自旋模军 A.S0(m)李代数的数学背景 00 2.对应的哈密倾量 00132 自旋S的VBS态 B.SO(2I+1)情形：新的Haldane能像态 2.自旋为1的费米型VBS者 45第 gaegai0a2 D.本章小结 文章编号：1000-0542(2012)01-0001-32 1994-019 China Academie Joural Electronic Publishing House.All rights reserved http://www.cnki.net

第32卷 第1期 2012年3月 物 理 学 进 展 PROGRESS IN PHYSICS Vol.32 No.1 Mar. 2012 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 涂鸿浩，张广铭* 清华大学物理系, 北京 100084 摘要: 一维量子多体系统是凝聚态物理学中的重要研究方向之一，其中的新奇量子物态则是重 要的研究课题。 本文我们首先简要回顾一维量子整数自旋链体系的相关研究背景，然后提出 一类 SO(n) 对称的严格可解量子自旋链模型及其矩阵乘积基态。 当奇数 n ≥ 3 时，体系的基 态为 Haldane 相。利用这类态中隐藏的稀薄反铁磁序，我们找到了刻画这类态的非局域弦序参 量，并在隐藏拓扑对称性的统一框架下解释了稀薄反铁磁序以及边缘态等奇特现象的起源。当偶 数 n ≥ 4 时，体系的基态为二聚化态。这些态属于破缺平移对称性的非 Haldane 相，但同样具有 隐藏的反铁磁序。通过这些严格解的研究，我们还得到了一维 SO(n) 对称的双线性–双二次模型 的基态相图，并发现在 n ≥ 5 时，一维 SO(n) 对称的反铁磁海森堡模型的基态处于二聚化相中。 基于以上这些结果，我们推广构造了一维平移不变且包含李群 G 对称性的 Valence Bond State (VBS) 态， 并利用其矩阵乘积表示讨论了对应哈密顿量的构造方法。对于自旋为 S 的 量子整数自旋链， 我们研究了两类具有不同拓扑属性的 VBS 类，前一类 VBS 态的边缘态处 于 SU(2) 自旋 J 的不可约表示，后一类 VBS 态的边缘态为 SO(2S + 1) 旋量。在前一类态中， 我们以自旋为 1 的费米型 VBS 态为例构造了对应的哈密顿量。 对后一类态，我们证明了它们 等价于 SO(2S + 1) 矩阵乘积态，从而揭示了呈展对称性的起源和边缘态的性质。 我们还推广 了 SO(5) 对称的玻色型和费米型 VBS 态，并探讨了它们的拓扑刻画方式。 关键词: 量子自旋链；矩阵乘积态；拓扑序；Mott绝缘体 中图分类号：O41 文献标识码：A 目 录 I. 引言 2 II. 一维量子自旋链体系概述 3 A. Haldane猜想 3 1. 一维反铁磁海森堡模型的低能有效理论 3 2. Lieb-Schultz-Mattis定理 4 B. 基于投影算符的严格可解量子自旋链模型 5 1. Majumdar-Ghosh模型 5 2. Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki模型 6 C. 矩阵乘积态 8 1. VBS态的矩阵乘积形式 8 2. 转移矩阵方法 9 III. 一维SO(n)对称的严格可解量子自旋链模型 10 A. SO(n)李代数的数学背景 10 1. 矢量表示与Cartan-Weyl形式 10 2. 矢量表示的直积分解 11 B. SO(2l + 1)情形：新的Haldane能隙态 12 Received date: 2011-07-19 *gmzhang@tsinghua.edu.cn 1. 基态波函数的构造 12 2. 与整数自旋链的对应关系 12 3. SO(3)矩阵乘积态: S = 1的VBS态 13 4. SO(5)矩阵乘积态:推广的S = 2 VBS态 14 5. 隐藏的反铁磁序 15 C. SO(2l)情形：具有二重简并的二聚化基态 16 1. 基态波函数的构造 16 2. SO(4)矩阵乘积态：自旋–轨道价键晶体 17 D. 一维SO(n)对称的双线性–双二次模型 18 E. 本章小结 20 IV. 拓扑不等价的VBS态及其对应的哈密顿量 20 A. VBS态的一般构造方式 20 1. 矩阵乘积态表示 20 2. 对应的哈密顿量 21 B. 一维量子整数自旋链中的VBS态 23 1. 由虚拟自旋J的粒子构造的自旋S的VBS态 23 2. 自旋为1的费米型VBS态 24 3. SO(2S + 1)对称的VBS态 25 C. SO(5)对称的VBS态 26 1. 玻色型SO(5)对称的VBS态 26 2. 费米型SO(5)对称的VBS态 28 D. 本章小结 29 文章编号: 1000-0542(2012)01-0001-32 1

涂湾洁，张广铭：一维量子白旋链中拓扑有序态的物理描述 V.总结与展望 的自旋1/2自旋子((spinon).虽然自旋S>1/2的海 致谢 堡模型不存在严格解，但人们长期以来认为这类体系 的物理性质与自旋1/2情形定性相似。 参考文献 然而，Haldane在1g83年提出了著名的Haldane结 想6习：自旋为S的量子反铁磁海森堡模型应分为整 1.引言 数自旋和半奇整数自旋两个不同的普适类，整 旋情形下体系其有有限能 ,自旋- 自旋两点关联 从二十世纪初量子力学建立以来，人们在原子尺 数随距离 指数形式衰减 奇整数情形 度上对自然界微观规律的认识进入了新的时代， 自旋-自旋两点关联函数随距离呈幂律形式刻 尽管这 子力学基本理论在解释各种物理实验现象及应用领域 猜想利用的半经典近似在大S极限下才 可控， 但很快S=1反铁磁海森堡链的数值计算结果 上都取得了巨大的成功。另一方面，在面对由大量原 证实了Haldane猜想。 子组成的多粒子体系时，尽管微观拉子的运动规律满 足量子力学的运动方程-薛定谔方程，但求解粒子数 随后，Affleck,Kennedy,Lieb和Tasaki(AKLT)通 在1023量级上的量子关联体系对应的薛定谔方程在可 自旋链纷 以预见的将来都是一个不可能完成的任务。随着高 ence Be )波函数 温超导、量子霍尔效应等众多新奇的宏观量子效应的 这类VBS 中的自 发现，人们逐渐认识到大量粒子组成复杂体系之后 距离呈指数形式衰减 ,它们对应的AKLT哈密顿量日 系统的整体行为不能通过其微观组 单元的性质 能隙可严格证明，因而这类体系具各Haldane猜想 得到 因此，在量子关联多体系统 所预言的特征。有趣的是，在开放边界条件下，自 我新的万 发展新的概之 旋为S的VBS态在链的两端冬出现一个近自由的自 直是物理学研究中的重要 域的不断发展还推动了一种新的科学研究指导思 旋S/2边缘态。虽然AKLT模型与标准的海森堡模型 想-演生论(Emergence),即认为自然界依据尺度和复 形式不同，但人们普前相信它们包含的物理定性相同 杂性分为不同的层次，每一个层次都有其特有的基本 AKT模型中自旋间的高阶相互作用项可以看作对海 保模的微扰」 规律，并与其组成部分的微观细节相对独立。诺贝尔 1/ 作过多种实 物理奖得主P.W.Anderson对演生论的一个精辟说法 H.Nz)2NOz( 是：More is different。 1的准 材料进行 究 he 量子关联多体系统中的 个重要领域是对量子 自旋1/2边缘态均被证实 基于 些发现，结合密度关 车重整化群的数值计算证据，人们普遍接受了VBS图 自旋系统的研究。早在量子力学建立初期的1931年 Bethes就对一维量子自旋1/2反铁磁海森堡链进行了 像和边缘态是整数自旋链中Haldane相的基本特征 研究刊，开辟了量子自旋链研究的篇章。对于高维 然而，随着自旋S的增大，描述体系所需的自由度 情形下的反铁磁体，Anderson等人在五十年代发展了 增加，在大自旋的量子多体系统中可能存在与上述图 自存波理论2，，而言了高维的反铁磁旗查保遵型且 像不同的新的量子物态。 是香存在新的物态？怎样刻 有长程序，低能元激发为无能限的自旋波模式。然 这些新的物？这些正是我们关心的重要避 而，Mermin-Wagner--Coleman?定理，司指出，即使在零 从实验的角度来看，周体材料中的大自旋通常需 温，量子涨落也会禁止一维具有连续对称性的体系中 要洪特(Hmd)相互作用产生，自旋S>2的情形并不 产生反铁磁长程序 这使得 一维量子自旋系统中可能 多见。近年来，快速发居的超冷原子体系提供了一个 存在许多不同寻常的物理 新的研究大自旋量子多体系统的实验平台。2002年。 与量子自旋系统相关的物理研究涉及凝聚态物 德国的Greiner等人率先在光晶格中实现了玻色原子 理、量子场论、数学物理等多个研穷领或。一肖品物理 从超流态到ott绝缘态的量子相变，开启了利用 联休系的先 学发展中的常吉树.为研究这类体系的物理性质，人 超 原子体系研究量子关 超冷原子 们发展了许名解析方法，如可积模型、玻色化、共形 仅环境 统的合 函论等许多右力的丁且 结合多种方法，人们得知自 进行调 因间 人们有望 ]冷原子系统来模拟 长程序 统的强关联电子体系，甚至以人工量子调控的方式 函数呈 幂律形式衰诚， 低能激发为分数化 更多的研究对象中寻找新的量子物态。在超冷原子体 1994-2019 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved. http:/www.cnki.ne

2 涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 V. 总结与展望 29 致 谢 30 参考文献 30 I. 引言 从二十世纪初量子力学建立以来，人们在原子尺 度上对自然界微观规律的认识进入了新的时代， 量 子力学基本理论在解释各种物理实验现象及应用领域 上都取得了巨大的成功。 另一方面，在面对由大量原 子组成的多粒子体系时，尽管微观粒子的运动规律满 足量子力学的运动方程–薛定谔方程， 但求解粒子数 在1023量级上的量子关联体系对应的薛定谔方程在可 以预见的将来都是一个不可能完成的任务。 随着高 温超导、量子霍尔效应等众多新奇的宏观量子效应的 发现，人们逐渐认识到大量粒子组成复杂体系之后， 系统的整体行为不能通过其微观组成单元的性质外推 得到。因此，在量子关联多体系统中寻找新的方法， 发展新的概念一直是物理学研究中的重要问题。 这 一领域的不断发展还推动了一种新的科学研究指导思 想–演生论(Emergence)，即认为自然界依据尺度和复 杂性分为不同的层次，每一个层次都有其特有的基本 规律， 并与其组成部分的微观细节相对独立。诺贝尔 物理奖得主P. W. Anderson对演生论的一个精辟说法 是：More is different。 量子关联多体系统中的一个重要领域是对量子 自旋系统的研究。早在量子力学建立初期的1931年， Bethe就对一维量子自旋1/2反铁磁海森堡链进行了 研究[1]，开辟了量子自旋链研究的篇章。 对于高维 情形下的反铁磁体，Anderson等人在五十年代发展了 自旋波理论[2,3]， 预言了高维的反铁磁海森堡模型具 有长程序，低能元激发为无能隙的自旋波模式。 然 而，Mermin-Wagner-Coleman定理[4,5]指出，即使在零 温，量子涨落也会禁止一维具有连续对称性的体系中 产生反铁磁长程序。 这使得一维量子自旋系统中可能 存在许多不同寻常的物理。 与量子自旋系统相关的物理研究涉及凝聚态物 理、量子场论、数学物理等多个研究领域，一直是物理 学发展中的常青树。 为研究这类体系的物理性质，人 们发展了许多解析方法，如可积模型、玻色化、共形 场论等许多有力的工具。 结合多种方法，人们得知自 旋1/2量子反铁磁海森堡链基态没有长程序，自旋–自 旋两点关联函数呈幂律形式衰减，低能激发为分数化 的自旋1/2自旋子(spinon)。虽然自旋S > 1/2的海森 堡模型不存在严格解，但人们长期以来认为这类体系 的物理性质与自旋1/2情形定性相似。 然而，Haldane在1983年提出了著名的Haldane猜 想[6,7]： 自旋为S的量子反铁磁海森堡模型应分为整 数自旋和半奇整数自旋两个不同的普适类， 整数自 旋情形下体系具有有限能隙，自旋–自旋两点关联函 数随距离呈指数形式衰减，半奇整数情形下体系无 能隙， 自旋–自旋两点关联函数随距离呈幂律形式衰 减。尽管这一猜想利用的半经典近似在大S极限下才 可控， 但很快S = 1反铁磁海森堡链的数值计算结果 证实了Haldane猜想。 随后，Affleck，Kennedy，Lieb和Tasaki (AKLT)通 过构造严格可解模型的方法为量子整数自旋链给 出一个清晰的 Valence Bond State (VBS) 波函数图 像[8,9]。 这类VBS态中的自旋–自旋两点关联函数随 距离呈指数形式衰减，它们对应的AKLT哈密顿量的 能隙可严格证明， 因而这类体系具备Haldane猜想 所预言的特征。有趣的是，在开放边界条件下， 自 旋为S的VBS态在链的两端各出现一个近自由的自 旋S/2边缘态。 虽然AKLT模型与标准的海森堡模型 形式不同，但人们普遍相信它们包含的物理定性相同， AKLT模型中自旋间的高阶相互作用项可以看作对海 森堡模型的微扰。 在实验方面，通过多种实验手段 对Ni(C2H8N2)2NO2(ClO4) (NENP)，Y2BaNiO5等自 旋S = 1的准一维磁性材料进行研究，Haldane能隙和 自旋1/2边缘态均被证实。基于这些发现，结合密度矩 阵重整化群的数值计算证据，人们普遍接受了VBS图 像和边缘态是整数自旋链中Haldane相的基本特征。 然而，随着自旋S的增大，描述体系所需的自由度 增加，在大自旋的量子多体系统中可能存在与上述图 像不同的新的量子物态。 是否存在新的物态？怎样刻 画这些新的物态？这些正是我们关心的重要问题。 从实验的角度来看，固体材料中的大自旋通常需 要洪特(Hund)相互作用产生，自旋S > 2的情形并不 多见。 近年来，快速发展的超冷原子体系提供了一个 新的研究大自旋量子多体系统的实验平台。 2002年， 德国的Greiner等人率先在光晶格中实现了玻色原子 从超流态到Mott绝缘态的量子相变[10]， 开启了利用 超冷原子体系研究量子关联体系的先河。 在超冷原子 体系中，不仅环境非常纯净，而且系统的众多参数可 以进行调节。因而，人们有望用冷原子系统来模拟传 统的强关联电子体系，甚至以人工量子调控的方式在 更多的研究对象中寻找新的量子物态。 在超冷原子体

涂湾洁，张广铭：一维量子白旋链中拓扑有序态的物理描述 系中，研究的基本对象是原子，而原子的自旋由核自 相同的传统看法。在本节中，我们将从低能有效场 旋与外层电子自旋耦合得到 般均大于1/2。在光 论和Lieb-Schultz-Mattis定理两个角度回顾这一著名 格中 原子的自旋自由度将完全被释放出来， 因此为 的Haldane猜想。 品格中的超冷原子体系是 一个高度可控的大自旋量了 对于量子自旋系统，构造其路径积分量子化方案 关联系统，为研究大自旋量子多体系统中的新奇物态 需要利用所谓的自旋相干态表示。自旋相干态)由 提供了舞台。 单位失量0 (sin cos ,它 在本文中，我们首先简要回顾了人们在 一 新过 KLT模型、矩 s.nl)=sp〉 1) 其次，我们构造了新 类的SO(n)对称的 自旋相干态满足超完备关系 格可解量子自旋链模型及其矩阵乘积基态。 数n>3时，体系的基态处于超越了传统AKLT模型框 架的Haldane相。我们抓住这类态中包含的稀薄反铁 2出∫m间-1 磁序这一重要信息，给出刻画这类态的非局域弦序参 其中dn=sin0d0dp.这一超完备关系可用来构造自 量，并进一步用隐藏的拓扑对称性来解释了Haldane能 旋系统的路径积分量子化方案。在周期性边界条 隙、隐藏的稀薄反铁磁序以及开放边界条件下的基 件下，包含偶数格点的一维自旋S的量子反铁磁海森 态简并等奇特致的起源。在偶影>4时，体系的 基态为二聚化态。虽然这些态属于破缺平移对称性的 堡模型为 非Haldane相 但同样具有隐藏的反铁磁序。 H=J∑S·S+1 (3) 通过格结 对称的双线 我们发现当n≥ 其中，J>0,其配分函数可写作虚时下的自旋相干态路 SO()对称的反铁磁海森堡模型的基态处于 聚 径积分 化相中，纠正了以前其他研究组得出的错误结论。 然后，我们给出了构造一维平移不变VBS态的一般方 Z=(-A) (4④ 法，许利用矩阵乘积态表示过论了试些VBS态对应的 哈密而措的一船方法。对干自旋为的品子效数自 旋链，我们研究了两类由拓扑性质所区分的VBS类 A=is∑0l+Jsd∑01间 其中前一类VBS态的边缘态处于2自旋的不可 类VBS态的边缘态为SC 1旋 其中B=1/T,作用量A中的第一项为By相，第二项 般的李群的拉 我们推 了s0 为通常的能量泛函。 个量子化方 包括玻色 型和费 两类 还尝试 案 它是自旋在 上从虚时 =0时刻的 3时刻走过 的闭合回路所包 时这些VBS态的拓扑刻画方式，最后我们对全文进 围的立体角（见图1），从而2可写作 行了总结，并对未来的工作进行了展望。 dr(1-cos0(r)(r） (6) Ⅱ.一维量子自旋链体系概述 上述一维量子反铁磁海森堡模型的配分函数和价 A.Haldane猜想 用量虽然是严格的表达式，然而配分函数中的泛函积 分却无法求解，因此需要用近似方法，在长波极限 1.一维反铁磁海森堡模型的低能有效理论 得到这个体系的低能有效理论。根据Vilson重整化的 思想，我们肖先需要将体系中“高能”的快变量和“低 通过自旋相干态路径积分的方法，Haldane在1g83 能”的慢变量区分开来，然后积掉“高能”的快变量， 年提出了一维量子反铁磁自旋的物理性质取决于自 得到描述慢变量的低能有效理论。在 维子后圆 旋是整数或半奇整数这一惊人结论，改变了人们认为 海森经模型中，由于很强的量子森落，反铁磁长程序 自旋S的量子反铁磁海森堡模型与自旋1/2情形 定性 不能真正形成，但是我们仍然 待在 品格尺上 1004.201gchi al Electronic Publishing www.cnki.ne

涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 3 系中，研究的基本对象是原子，而原子的自旋由核自 旋与外层电子自旋耦合得到，一般均大于1/2。在光晶 格中，原子的自旋自由度将完全被释放出来， 因此光 晶格中的超冷原子体系是一个高度可控的大自旋量子 关联系统，为研究大自旋量子多体系统中的新奇物态 提供了舞台。 在本文中，我们首先简要回顾了人们在一维 量 子 自 旋 链 的 研 究 中 发 展 的 一 些 理 论 与 方 法， 包括Haldane猜想、VBS态与AKLT模型、矩阵乘积 态； 其次，我们构造了新一类的SO(n)对称的严 格可解量子自旋链模型及其矩阵乘积基态。在奇 数n ≥ 3时，体系的基态处于超越了传统AKLT模型框 架的Haldane相。我们抓住这类态中包含的稀薄反铁 磁序这一重要信息，给出刻画这类态的非局域弦序参 量，并进一步用隐藏的拓扑对称性来解释了Haldane能 隙、 隐藏的稀薄反铁磁序以及开放边界条件下的基 态简并等奇特现象的起源。在偶数n ≥ 4时，体系的 基态为二聚化态。虽然这些态属于破缺平移对称性的 非Haldane相，但同样具有隐藏的反铁磁序。 在这一 部分，我们还研究了一维SO(n)对称的双线性–双二次 模型的基态相图。通过严格结果，我们发现当n ≥ 5时 一维SO(n)对称的反铁磁海森堡模型的基态处于二聚 化相中，纠正了以前其他研究组得出的错误结论。 然后，我们给出了构造一维平移不变VBS态的一般方 法，并利用矩阵乘积态表示讨论了这些VBS态对应的 哈密顿量的一般方法。 对于自旋为S的量子整数自 旋链，我们研究了两类由拓扑性质所区分的VBS类， 其中前一类VBS态的边缘态处于SU(2)自旋J的不可 约表示，后一类VBS态的边缘态为SO(2S + 1)旋量。 作为更一般的李群G的范例，我们推广了SO(5)对称 的VBS态，包括玻色型和费米型两类，还尝试性的探 讨了这些VBS态的拓扑刻画方式。 最后我们对全文进 行了总结，并对未来的工作进行了展望。 II. 一维量子自旋链体系概述 A. Haldane猜想 1. 一维反铁磁海森堡模型的低能有效理论 通过自旋相干态路径积分的方法，Haldane在1983 年提出了一维量子反铁磁自旋链的物理性质取决于自 旋是整数或半奇整数这一惊人结论，改变了人们认为 自旋S的量子反铁磁海森堡模型与自旋1/2情形定性 相同的传统看法。 在本节中，我们将从低能有效场 论和Lieb-Schultz-Mattis定理两个角度回顾这一著名 的Haldane猜想。 对于量子自旋系统，构造其路径积分量子化方案 需要利用所谓的自旋相干态表示。自旋相干态 ¯ ¯ ¯ Ωˆ E 由 单位矢量Ω = (sin ˆ θ cos ϕ,sin θ sin ϕ, cos θ)来标记，它 是自旋算符在S 2单位球(θ, ϕ)方向上的最大极化态 S · Ωˆ ¯ ¯ ¯ Ωˆ E = S ¯ ¯ ¯ Ωˆ E (1) 自旋相干态满足超完备关系 2S + 1 4π Z dΩˆ ¯ ¯ ¯ Ωˆ E DΩˆ ¯ ¯ ¯ = I (2) 其中dΩ = sin ˆ θdθdϕ。这一超完备关系可用来构造自 旋系统的路径积分量子化方案[11]。 在周期性边界条 件下，包含偶数格点的一维自旋S的量子反铁磁海森 堡模型为 H = J X i Si · Si+1 (3) 其中J > 0，其配分函数可写作虚时下的自旋相干态路 径积分 Z = Z DΩ exp( ˆ −A) (4) A = iSX i ω[Ωˆ i ] + JS2 Z β 0 dτ X i Ωˆ i · Ωˆ i+1 (5) 其中β = 1/T，作用量A中的第一项为Berry相，第二项 为通常的能量泛函。 在自旋相干态路径积分量子化方 案中，Berry相具有明确的几何含义，它是自旋在S 2球 上从虚时τ = 0时刻到τ = β时刻走过的闭合回路所包 围的立体角（见图1），从而ω[Ω] ˆ 可写作 ω[Ω] = ˆ Z β 0 dτ (1 − cos θ(τ )) ˙ϕ(τ ) (6) 上述一维量子反铁磁海森堡模型的配分函数和作 用量虽然是严格的表达式，然而配分函数中的泛函积 分却无法求解， 因此需要用近似方法，在长波极限下 得到这个体系的低能有效理论。 根据Wilson重整化的 思想，我们首先需要将体系中“高能”的快变量和“低 能”的慢变量区分开来，然后积掉“高能”的快变量， 得到描述慢变量的低能有效理论。在一维量子反铁磁 海森堡模型中，由于很强的量子涨落，反铁磁长程序 不能真正形成，但是我们仍然可以期待在晶格尺度上

涂湾洁，张广铭：一一维量子白旋链中拓扑有序态的物理描述 型以。该模型是一个有能隙的可积场论31 S2sphere 能隙△e-2/ ,n场之间的关联函数在长距 下呈指数形式衰减。因此，低能有效理论的方法 给出了惊人的预言： 一维整数自旋的量子反铁 磁海森堡模型具有有限能隙，自旋-自旋两点关 联函数在长距离下呈指数形式衰减： 2.半奇整数自旋：由于exp-i2xSQ(a】=士1，拓 扑项以(-1)P的形式进入配分函数，该项对自旋 洗落场各拓扑不等价的轨迹发生干涉，此时 体系的有效作用量A:在量子场论领域被称为 带有拓扑顶8=的1+1维O(3非线性σ模型 人们对这个模型的认识比不含拓扑项的情形要 少得多，但大家普遍认为拓扑项的存在会 阳十去聚气在桶保中的风在自长 拓扑项的 纸能下流向属于SU 2)1的 有知程的反铁磁关联，从而可将2，分成慢变的反铁磁 m共形场论普适类的重整化群不 点 ,该共形场论恰好被认为是自旋1/2 涨落场元，和快变的铁磁涨落场，两部分 子反铁磁海森堡模型的低能有效场论。这 =(-1元1-2+ 现暗示了所有的半奇整数自旋S>1/2的量了 (7) 反铁磁海森堡橙型与自旋12情形处干同一普括 其中=1，元和满足约束元·i=0。将上式代 类：体系处于量子临界状态，激发无能隙，自 入(5)式中的作用量A并展开至各场量的二阶项，利用 旋-自旋两点关联函数在长距离下呈幂率衰减。 高断积分将快弯的铁做涨落积掉 在将晶格连续化 后，我们得到如下低能有效作用量 2.Lieb-Schultz-Mattis定理 在 一节中 根据自旋S为半奇整数和整数 维量子反铁磁海森堡自旋链在长波极限下分别被映射 8 到包含和不包含拓扑项的1+1维O(3)非线性σ模型 其中自旋波速度知=2JS,耦合常数g=2/5,有效作 说明它1分别属于不同的普话类。为讲一步理解这两 用量Aa中的第一项为拓扑项 个善话类之间的风别。A田eck和Lieb推广了Lieh等人 Q(词=drd证i:(a,i×a (9) 在自旋1/2体系中证明的Lieb-Schult-attis定理18 他们指出：对于一维且右半奇整数自的哈 在周期边界条件下，Q(列是一个整数，这个拓扑数代 平移不变和自旋旋转不变的情 如果体系 表了矢量的轨迹爱盖单位球S2的次数，拓扑等价 的基态无简并，则 存 无能隙白 的轨迹均具有相同的拓扑数。利用这一性质，一维量 维量子自旋系统中 子反铁磁海堡模刑的配分函数可以看做对自 后的Licb-Schultz-Matt 定理为 半奇整数目 涨落场n的所有拓扑不等价的构型求和 由于拓扑 旋休系的Haldane猜想做了非常必要的补充，下面我们 奇整数自旋S的 简要回顺这一定理。 的低能行为 不失一般性，考虑周期性边界条件下包含N个格 立刻引出著名的Haldane猜想， 点(N为偶数)海森堡自旋链，假设其基态为哑0， 先定义如下“扭曲” 算符(wist operator): 1.整数自旋：由于ep[-2xSQ( 中的拓项 以能忽略，此 效作用量A 量子场论中所熟知的1+1维0(3)非线性 0=ep(i下 =1 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.ne

4 涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 * 3 - 20/.1. , 图 1. 自旋矢量在虚时闭合回路中的Berry相示意图。在自旋 相干态表示下，Berry相等价于S 2单位球上的立体角。 有短程的反铁磁关联，从而可将Ωˆ i分成慢变的反铁磁 涨落场~ni 和快变的铁磁涨落场L~ i两部分 Ωˆ i = (−1)i ~ni r 1 − a 2 S2 L~ 2 i + a S L~ i (7) 其中~n2 i = 1，~ni和L~ i满足约束~ni · L~ i = 0。将上式代 入(5)式中的作用量A并展开至各场量的二阶项，利用 高斯积分将快变的铁磁涨落L积掉， 在将晶格连续化 后，我们得到如下低能有效作用量 Aeff = i2πSQ(~n) + 1 2g Z dτ dx[ 1 v (∂τ ~n) 2 + v(∂x~n) 2 ] (8) 其中自旋波速度v = 2JS，耦合常数g = 2/S，有效作 用量Aeff中的第一项为拓扑项 Q(~n) = 1 4π Z dτ dx ~n · (∂τ ~n × ∂x~n) (9) 在周期边界条件下，Q(~n)是一个整数，这个拓扑数代 表了矢量~n的轨迹覆盖单位球S 2的次数， 拓扑等价 的轨迹均具有相同的拓扑数。利用这一性质，一维量 子反铁磁海森堡模型的配分函数Z可以看做对自旋 涨落场n的 所有拓扑不等价的构型求和。 由于拓扑 项Q(~n)为整数，整数自旋S和半奇整数自旋S的一维反 铁磁海森堡自旋链将呈现非常不同的低能行为，从而 立刻引出著名的Haldane猜想： 1. 整数自旋: 由于exp[−i2πSQ(~n)] = 1，配分函数 中的拓扑项可以被忽略，此时有效作用量Aeff为 量子场论中所熟知的1 + 1维O(3)非线性σ模 型[12]。 该模型是一个有能隙的可积场论[13,14]， 能隙∆ ∼ e −2π/g，n场之间的关联函数在长距离 下呈指数形式衰减。因此，低能有效理论的方法 给出了惊人的预言： 一维整数自旋的量子反铁 磁海森堡模型具有有限能隙，自旋–自旋两点关 联函数在长距离下呈指数形式衰减。 2. 半奇整数自旋: 由于exp[−i2πSQ(~n)] = ±1，拓 扑项以(−1)Q的形式进入配分函数，该项对自旋 涨落场~n各拓扑不等价的轨迹发生干涉， 此时 体系的有效作用量Aeff在量子场论领域被称为 带有拓扑项θ = π的1 + 1维O(3)非线性σ模型。 人们对这个模型的认识比不含拓扑项的情形要 少得多，但大家普遍认为拓扑项的存在会产生 重要的非微扰效应。一些研究表明， 拓扑项的 存在使得体系在低能下流向属于SU(2)1的Wess￾Zumino-Witten共形场论普适类的重整化群不动 点[15,16,17]，该共形场论恰好被认为是自旋1/2量 子反铁磁海森堡模型的低能有效场论。 这一发 现暗示了所有的半奇整数自旋S > 1/2的量子 反铁磁海森堡模型与自旋1/2情形处于同一普适 类： 体系处于量子临界状态，激发无能隙，自 旋–自旋两点关联函数在长距离下呈幂率衰减。 2. Lieb-Schultz-Mattis定理 在上一节中，根据自旋S为半奇整数和整数， 一 维量子反铁磁海森堡自旋链在长波极限下分别被映射 到包含和不包含拓扑项的1 + 1维O(3)非线性σ模型， 说明它们分别属于不同的普适类。 为进一步理解这两 个普适类之间的区别，Affleck和Lieb推广了Lieb等人 在自旋1/2体系中证明的Lieb-Schultz-Mattis定理[18]， 他们指出[19]：对于一维具有半奇整数自旋的哈密顿 量，在平移不变和自旋旋转不变的情形下， 如果体系 的基态无简并，则基态之上一定存在无能隙的激发。 作为一维量子自旋系统中一条重要的严格定性定理， 推广后的Lieb-Schultz-Mattis定理为一维半奇整数自 旋体系的Haldane猜想做了非常必要的补充，下面我们 简要回顾这一定理。 不失一般性，考虑周期性边界条件下包含N个格 点（N为偶数）海森堡自旋链，假设其基态为|Ψ0i，首 先定义如下“扭曲”算符(twist operator)： O = exp(i 2π N X N j=1 jSz j ) (10)

涂湾洁，张广铭：一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描还 并得到“扭曲”后的态(twisted state) 该命题的证明需要利用自旋算符的如下等式 Ψ1》=O|亚o) (11】 Lieb-Schulz-Mattis?定理包含如下两个命题 eios'ste-is=S=cos0-Ssin0 (13) 命题2.1在热力学极限下，亚，》的能量与基态能 eis"Sve-is*=Ssin+S cos0 14 的差趋于0： 利用上述等式，将“扭曲”后的态作为变分态，该变分 m【lH)-E一0 (12) 态能量与真实基态能量的差可计算 ,H=a0H01o）=maH+Jm装-立(alsy1+sysg,o+0/W 这意味者“扭曲”后的态具有非常小的激发能，在热力对于整数自旋和半奇整数自腹，我们有 学极恩下激发能趋于0，从而Lieb-Schultz-Mattis定理 第一个命题得证。 (19) 命题2.2当且仅当S为半奇整数时，便)与基 态亚o)正交： 将(17)式、(18)式和(19)式代入(17)式，可以发现对于 半奇整数自旋S有 (便o〉=0 (15) (业0|业1}=-（业。业）=0. (20) 一命题的证明可利用体系的平移不变性。平 三S,+1周期边界条件下 从而第二个命题得证，第二个命题为了说明虽然“扭 平移算符T与哈密顿量对易，有口，川=0，因此基 曲”后的态一般来说不是体系的本征态，但在半奇 态业》是平移算符的本征态 整数自旋的体系中它与基态正交，由激发态的线性 组合得到，不含有基态的成分。综合两个命题，Lieb TIo〉=eo) (6) Schultz-Mattis定理说明了在半奇整数自旋链中，若基 态无简并，则至少有一个激发态的激发能在热力学极 其中o为基态)的晶格动量。利用这一等式，便)与 限下趋于0，从而说明体系中存在无能隙的激发。 基态业)的交叠可表示为 (o里〉=(ol0o) B.基于投影算符的严格可解量子自旋链模型 =(WolTOT-1 |Wo) .Majumdar-Ghosh模型 利用平移算符T的定义可进一步约化 在前两节中，Haldane猜想和Lieb-Schultz 角度为 效场 体系的物 格定性定理的 性质提供 众所周知，严格可解模型通常能够为理解量 根据对称性的要求，无简并的基态须为转不变 关联系统的物理性质提供雅确的结论和清晰的图像 的自旋单态，则 在这一节中，我们将以自旋1/2的Majumdar--Ghosh模 型20.2为例来介绍基于投影算符构造严格可解模型 的方法。 在周期边界条件下，包含偶数格点N的Majumdar 1994-2019 China Academie Joun al Electronic Publishing All rights reserved http://www.cnki.net

涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 5 并得到“扭曲”后的态(twisted state)： |Ψ1i = O |Ψ0i (11) Lieb-Schultz-Mattis定理包含如下两个命题： 命题2.1 在热力学极限下，|Ψ1i的能量与基态能 的差趋于0： lim N→∞ [hΨ1| H |Ψ1i − E0] → 0 (12) 该命题的证明需要利用自旋算符的如下等式 e iθSz S x e −iθSz = S x cos θ − S y sin θ (13) e iθSz S y e −iθSz = S x sin θ + S y cos θ (14) 利用上述等式，将“扭曲”后的态作为变分态，该变分 态能量与真实基态能量的差可计算为 hΨ1| H |Ψ1i = hΨ0| O −1HO |Ψ0i = hΨ0| H |Ψ0i + J(cos 2π N − 1)X N j=1 hΨ0| S x j S x j+1 + S y j S y j+1 |Ψ0i ' E0 + O(1/N) 这意味着“扭曲”后的态具有非常小的激发能，在热力 学极限下激发能趋于0，从而Lieb-Schultz-Mattis定理 第一个命题得证。 命题2.2 当且仅当S为半奇整数时，|Ψ1i与基 态|Ψ0i正交： hΨ0 |Ψ1i = 0 (15) 这一命题的证明可利用体系的平移不变性。平 移算符T的定义为TSjT −1 ≡ Sj+1。周期边界条件下， 平移算符T与哈密顿量对易，有[T, H] = 0， 因此基 态|Ψ0i是平移算符的本征态 T |Ψ0i = e ik0 |Ψ0i (16) 其中k0为基态|Ψ0i的晶格动量。利用这一等式，|Ψ1i与 基态|Ψ0i的交叠可表示为 hΨ0 |Ψ1i = hΨ0| O |Ψ0i = hΨ0| T OT −1 |Ψ0i 利用平移算符T的定义可进一步约化 T OT −1 = O exp(i2πSz 1 ) exp(−i 2π N X N j=1 S z j ) (17) 根据对称性的要求，无简并的基态|Ψ0i须为旋转不变 的自旋单态，则 exp(−i 2π N X N j=1 S z j )|Ψ0i = |Ψ0i (18) 对于整数自旋和半奇整数自旋，我们有 exp(i2πSz 1 ) = ½ 1 S = 1, 2, . . . −1 S = 1/2, 3/2, . . . (19) 将(17)式、(18)式和(19)式代入(17)式，可以发现对于 半奇整数自旋S有 hΨ0 |Ψ1i = −hΨ0 |Ψ1i = 0. (20) 从而第二个命题得证。第二个命题为了说明虽然“扭 曲”后的态一般来说不是体系的本征态，但在半奇 整数自旋的体系中它与基态正交， 由激发态的线性 组合得到，不含有基态的成分。综合两个命题，Lieb￾Schultz-Mattis定理说明了在半奇整数自旋链中，若基 态无简并，则至少有一个激发态的激发能在热力学极 限下趋于0，从而说明体系中存在无能隙的激发。 B. 基于投影算符的严格可解量子自旋链模型 1. Majumdar-Ghosh模型 在 前 两 节 中， Haldane猜 想 和Lieb-Schultz￾Mattis定理分别从低能有效场论和严格定性定理的 角度为一维量子自旋体系的物理性质提供了重要的 信息。 众所周知，严格可解模型通常能够为理解量子 关联系统的物理性质提供准确的结论和清晰的图像。 在这一节中，我们将以自旋1/2的Majumdar-Ghosh模 型[20,21]为例来介绍基于投影算符构造严格可解模型 的方法。 在周期边界条件下，包含偶数格点N的Majumdar

涂湾洁，张广铭：一维量子白装链中拓扑有序态的物理描述 示，Majumndar-Ghosh哈密顿量的严格基态波函数可 以写作 图2 M棱型的二聚化荔制-o创和-) -）=Π(ak+4-aa4+w） -Ghosh哈密顿量为 在这两个波函数中，每两个近邻格点形成价键单态 hc=J∑(S·S+1+5·S+2+)(2) 它们构成一组平移对称性破缺的二聚化基态，示意图 见图2。 其中J>0.我们不妨先用二次量子化的Schwinger玻 为证明该二聚化基态是Majumdar-Ghosh模型的 色子表象来写出单个格点上的两个自1/2态 基态，不妨考虑三个相邻格点上自旋1/2之间的耦合 It)=ailv).I)=aflv) 22 585⑧与=0由1)@ 其中玻色子算符a和a分别产生向上和向下的 自旋1/2态，v)为真空态。利用Schwinger玻色子表 其中投影到总自旋为32通道的投影算符可以写作 B26-1,ii+1)=S-1+S+S+1)2--2S-1…S4+SS+1+S-1…S+1)+ 注意到Majumndar-Ghosh模型可以写作 2.Aflleck-Kennedy-Lieb-Tasaki模型 乃2-1，i,i+1) 借助于在上一节中构造Majumdar--Ghosh模型 (23)严格可解基态的思想，在本节中我们介绍A田eck Kenned-Iieh-Tasaki(AKIT)模型s.到，在一维量 由于J>0,Majumdar-Ghosh模型作为一个投影算 子整数自旋链体系中，A们T模型及其VS其态 符哈密顿量，其本征值恒大于等于0。在二聚化基态 为理解Haldane猜想提供了清晰的物理图像 中，由于每个格点总是与其近邻格点形成了价键单 构造AKLT模 型 首先需要 节中自 态，每三个近邻格点间的总自旋永远是自旋1/2，不可 旋1/2的Schwinger玻色子表示推广到任意自旋 能达到3/2.因此，图2中的二聚化态总是Majumdar Ghosh模型的零能量严格基态。 s+=afal,S-=afat.S=(afat -afal)(24) 在Majumdar-Ghosh模型中，次近邻的反铁磁自 旋交换对近邻格点的反铁磁交换起到阻挫作用，这 上述玻色子表示自动满足自旋算符的SU(2)李代数为 使得标准的自旋1/2反铁磁海森堡模型中自旋的代数 易关系S+,S-]=25”,[S,5]=±S±。为确保单 长程关联变成短程关联。在一聚化其态之上，体系 个格点的自旋大小为S,还需要加上一个约束条件 中的激发有能隙，能隙的产生来源于平移对称性破 缺，这也使得ajumdar-Ghosh模型中能隙的打开并 (25) 不违背Ⅱ.A.2节中讨论的Lieb-Schultz-Mattis定理 作为投影算符构造严格 这一玻色子数的约束条件确保每个格点上S2=SS+ 1).利用Schwinger玻色子，自旋为S的态可以对应到 1994-2019China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved. http:/www.cnki.ne

6 涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 *-+ *,+ 图 2. Majumdar-Ghosh模型的二聚化基态|Ψ+i (a)和|Ψ−i (b). -Ghosh 哈密顿量为 HMG = J X N i=1 (Si · Si+1 + 1 2 Si · Si+2 + 3 8 ) (21) 其中J > 0。我们不妨先用二次量子化的Schwinger玻 色子表象来写出单个格点上的两个自旋1/2态： |↑i = a † ↑ |vi, |↓i = a † ↓ |vi (22) 其 中 玻 色 子 算 符a † ↑和a † ↓分 别 产 生 向 上 和 向 下 的 自旋1/2态，|vi为真空态。利用Schwinger玻色子表 示，Majumdar-Ghosh哈密顿量的严格基态波函数可 以写作 |Ψ+i = N/ Y 2 i=1 (a † 2i−1,↑ a † 2i,↓ − a † 2i−1,↓ a † 2i,↑ )|vi |Ψ−i = N/ Y 2 i=1 (a † 2i,↑ a † 2i+1,↓ − a † 2i,↓ a † 2i+1,↑ )|vi 在这两个波函数中，每两个近邻格点形成价键单态， 它们构成一组平移对称性破缺的二聚化基态，示意图 见图2。 为证明该二聚化基态是Majumdar-Ghosh模型的 基态，不妨考虑三个相邻格点上自旋1/2之间的耦合 1 2 ⊗ 1 2 ⊗ 1 2 = (0 ⊕ 1) ⊗ 1 2 = 1 2 ⊕ 1 2 ⊕ 3 2 其中投影到总自旋为3/2通道的投影算符可以写作 P3/2(i − 1, i, i + 1) = 1 3 (Si−1 + Si + Si+1) 2 − 1 4 = 2 3 (Si−1 · Si + Si · Si+1 + Si−1 · Si+1) + 1 2 注意到Majumdar-Ghosh模型可以写作 HMG = 3J 4 X N i=1 P3/2(i − 1, i, i + 1) (23) 由于J > 0，Majumdar-Ghosh模型作为一个投影算 符哈密顿量，其本征值恒大于等于0。 在二聚化基态 中，由于每个格点总是与其近邻格点形成了价键单 态，每三个近邻格点间的总自旋永远是自旋1/2，不可 能达到3/2。因此，图2中的二聚化态总是Majumdar￾Ghosh模型的零能量严格基态。 在Majumdar-Ghosh模型中，次近邻的反铁磁自 旋交换对近邻格点的反铁磁交换起到阻挫作用， 这 使得标准的自旋1/2反铁磁海森堡模型中自旋的代数 长程关联变成短程关联。 在二聚化基态之上，体系 中的激发有能隙，能隙的产生来源于平移对称性破 缺， 这也使得Majumdar-Ghosh模型中能隙的打开并 不违背 II. A. 2 节中讨论的Lieb-Schultz-Mattis定理。 作为投影算符构造严格可解哈密顿量的标准范式， Majumdar-Ghosh模型具有格外重要的意义。 2. Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki模型 借助于在上一节中构造Majumdar-Ghosh模型 严格可解基态的思想，在本节中我们介绍Affleck￾Kennedy-Lieb-Tasaki(AKLT)模 型[8,9]。 在 一 维 量 子 整 数 自 旋 链 体 系 中，AKLT模 型 及 其VBS基 态 为 理 解Haldane猜 想 提 供 了 清 晰 的 物 理 图 像。 为 了 构 造AKLT模 型， 首 先 需 要 将 上 一 节 中 自 旋1/2的Schwinger玻色子表示推广到任意自旋S S + = a † ↑ a↓, S− = a † ↓ a↑, Sz = 1 2 (a † ↑ a↑ − a † ↓ a↓) (24) 上述玻色子表示自动满足自旋算符的SU(2)李代数对 易关系[S +, S−] = 2S z，[S z , S±] = ±S ±。 为确保单 个格点的自旋大小为S，还需要加上一个约束条件 a † ↑ a↑ + a † ↓ a↓ = 2S (25) 这一玻色子数的约束条件确保每个格点上S 2 = S(S + 1)。利用Schwinger玻色子， 自旋为S的态可以对应到

涂填法，张广铭：一维量子自接链中拓扑有序点的物理描 玻色子占据数的Fok空间 四06066660 (at)s+m(af)s-r S,m)= +mj-m州 (260)间3808008088 若取5=1/2，则上式中的两个态回到上一节中考虑 的自旋1/2情形。实际上，Schwinger玻色子表示的思 (e) 想是将一个自旋S分成2S个全对称化的自旋1/2粒子， 而全对称化这 一过程是通过为虚拟的自旋1/2粒子赋 子玻色统计来完成的， 在Schwinger玻色子表象下，VBS态波函数可以写 作 (27) 其中品格的任登配位数（每个格点且有的近邻格占 数)为z,整数M=2S/2.很显然，每个格点上自旋S的 图3.一缘和两维品格中的几种VBS态。 决 在哪些配位数的品格】 造出VBS老 维 子自旋链的情形中配位数为 2则 在这一系列AKT模型 有M=S.在一维和两维品格中的几种VBS态如图3所 ，尤其重要的是一维自 不安布风各件的不安的资色 旋链中的S=1情形。利用上述投影算符的一般表达 式，相应的AKLT模型可以写作 个总自旋单态。更重要的是，由于Schwinger玻色子间 价键单态的形成，VBS态在任章两个近邻格点间的总 HKT=J∑P=2i+ 自旋总有S7≤(2S-M),因而它总是投影到两近邻 格点总自2S-M+1)0,Ps,(，)是将两近邻格点的自旋投 (32) 影到总自旋为Sr的通道上的投影算符。利用S:·S,= (S+S,P-S(S+1),结合投影算符的完备性条 其中关联长度=1/m3,如果用VBS波函数作为自 件∑oPs(信，)=1，可以得到 旋1反铁磁海森堡模型的变分基态，给出的能量与数值 计算结果相比仅相差5%。因此，自悔为1的A紅T相 ∑吃+)-5+, 型具备了Haldane猜想对整数自旋链所 的性质， 以认为这个模型中 相互 (29 求解这组线性方程组可将SU(2)旋转不变的投影算符 作用相比可 函数 供 可以写成如下自旋-自旋交换相互作用S:·S的25阶 图像很好的抓住了自旋为1的反铁磁海森堡自旋链的 关键物理。 多项式形式 对于S>1的一准AKLT整数自旋链模型，VBS被 S:.S:+S(S+1)-S(S+1)函数依然是一个对于理解Haldanei能相非常右用 P(位，)= Sr(r+1)-5(S'+1) 的物理图像，Aro (30 旋相干态方法严格计算了一维VBS态中自旋-自旋两 1994-2019Ch Publish All rights reserved http:/www.cnki.ne

涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 7 玻色子占据数的Fock空间 |S, mi = (a † ↑ ) S+m(a † ↓ ) S−m p (S + m)!(S − m)! |vi (26) 若取S = 1/2，则上式中的两个态回到上一节中考虑 的自旋1/2情形。 实际上，Schwinger玻色子表示的思 想是将一个自旋S分成2S个全对称化的自旋1/2粒子， 而全对称化这一过程是通过为虚拟的自旋1/2粒子赋 予玻色统计来完成的。 在Schwinger玻色子表象下，VBS态波函数可以写 作[22] |VBSi = Y hiji (a † i,↑ a † j,↓ − a † i,↓ a † j,↑ ) M |vi (27) 其中晶格的任意配位数(每个格点具有的近邻格点 数)为z，整数M = 2S/z。很显然，每个格点上自旋S的 大小决定了在哪些配位数的晶格上能构造出VBS态， 例如在一维量子自旋链的情形中配位数为z = 2，则 有M = S。在一维和两维晶格中的几种VBS态如图3所 示。 在周期性边界条件的晶格上，VBS态还具有平移 不变和SU(2)自旋空间旋转不变的特征，因而它是一 个总自旋单态。更重要的是，由于Schwinger玻色子间 价键单态的形成，VBS态在任意两个近邻格点间的总 自旋总有ST ≤ (2S − M)，因而它总是投影到两近邻 格点总自旋(2S − M + 1) ≤ ST ≤ 2S的自旋算符的 零能量本征态。从而，这一性质即可得到VBS态对应 的AKLT哈密顿量[8,22] HAKLT = X hiji X 2S ST =2S−M+1 JST PST (i, j) (28) 其中所有JST > 0，PST (i, j)是将两近邻格点的自旋投 影到总自旋为ST的通道上的投影算符。利用Si · Sj = 1 2 (Si + Sj ) 2 − S(S + 1)， 结合投影算符的完备性条 件 P2S ST =0 PST (i, j) = 1，可以得到 (Si · Sj ) n = X 2S ST =0 [ 1 2 ST (ST + 1) − S(S + 1)]nPST (i, j) (29) 求解这组线性方程组可将SU(2)旋转不变的投影算符 可以写成如下自旋–自旋交换相互作用 Si · Sj的2S阶 多项式形式 PST (i, j) = Y 2S S0=0,S06=ST Si · Sj + S(S + 1) − 1 2 S 0 (S 0 + 1) 1 2 ST (ST + 1) − 1 2 S0(S0 + 1) (30) *,+ *-+ *.+ */+ 图 3. 一维和两维晶格中的几种VBS态。 在这一系列AKLT模型中，尤其重要的是一维自 旋链中的S = 1情形。利用上述投影算符的一般表达 式，相应的AKLT模型可以写作 HAKLT = J X N i=1 PST =2(i, i + 1) = J 2 X N i=1 [Si · Si+1 + 1 3 (Si · Si+1) 2 + 2 3 ](31) 这个模型中除了标准的海森堡（双线性）相互作用项， 还加上了一个双二次相互作用项。 可以证明，该模型 具有有限能隙，并且其VBS基态波函数中自旋–自旋两 点关联函数在长距离下呈指数形式衰减 hSi · Sj i ∼ exp µ − |j − i| ξ ¶ (32) 其中关联长度ξ = 1/ ln 3。如果用VBS波函数作为自 旋1反铁磁海森堡模型的变分基态，给出的能量与数值 计算结果相比仅相差5%。 因此，自旋为1的AKLT模 型具备了Haldane猜想对整数自旋链所预言的性质， 从而可以认为这个模型中的双二次相互作用跟海森堡 相互作用相比可以看作微扰，并且VBS波函数提供的 图像很好的抓住了自旋为1的反铁磁海森堡自旋链的 关键物理。 对于S > 1的一维AKLT整数自旋链模型，VBS波 函数依然是一个对于理解Haldane能隙相非常有用 的物理图像， Arovas，Auerbach和Haldane[22]利用自 旋相干态方法严格计算了一维VBS态中自旋–自旋两

涂湾洁，张广铭：一维量子白旋链中拓扑有序态的物理描述 点关联函数，它们都在长距离下呈指数形式衰减 可以在自旋为1的AKLT模型的VBS简并基态中构地 关联长度为=1/l(1+).VBS波函数图像还提 基于量子测量的量子计算方案，在这种方案中，体系 供了另外一个特征：开放边界条件下的边缘态。在 的能隙可以用来抵抗噪声，从而保护了存储信息的量 开放边界条件的一维链中，自旋为S的VBS态在链的 了予态。 两端各出现一个近自由的自旋为S/2的边缘态。吴 大琪曾指出2，在1+1维0(3)非线性σ模型的描述 C.矩阵乘积态 中，拓扑项在开放边界条件下在链的两端各给出 个白旋S2边终本。文一针付一维整数白旋反铁磁 1.VBS态的矩阵乘积形式 海保橙刑的预言酒DG的数值计算得到了 实24。在实验方面，通过对Ni(CH 2NO-i0 这一节中我们简要介绍矩阵乘积态的概念。 维性材料进行 历史上讲，矩阵乘积态是作为VBS 表示形 1和 式引入的 但近年来矩阵乘积态本身的理计 核共振(NMR)川 子敢射2等实验，Haldane能隙和自旋1/2边缘态也 及其在数值计算方法上的应用，其重要意义已经大 均被证实。更多的Haldanef能隙型准一维材料可参 大超出最初的范畴。众所周知，DMRG方法4O是 阅Yamashita等人的综述文章到，结合这些理论和实 研究一维量子关联系统最有效的数值计算方法。 Ostlund和Rommer发现a1,4a,DMRG的计算如果收 验结果，人们普遍接受了VS图像和边缘态是一维量 子整数自旋饰中Haldane相的基本特征 敛，其重整化不动点的波函数将具有矩阵乘积态的形 式。这一发现不仅推动了基于矩阵乘积形式变分基态 近年来，VBS态还引起了量子信息领域的广泛关 的数值计算方法革新4③，还为DRG的有效性提供了 注 例如，ES态作为个多粒子纠态可以被用 理论依据」 测试各种多粒子纠缠判据 从潜在应用的角 度而言，VBS态可用来进行量子计算3网。由于VBS态 我们还是从AKLT模型的VBS态开始引入矩阵乳 积态。不妨先考虑最简单的S=1情形，在周期型边茅 一般具有有限能隙，Brennen和Miyake3最近还提出 条件下，VBS态可利用矩阵外积写成矩阵乘积形式的 被函数 =dau-成d州--()()(d成)(）- =Tr(192…gN) 其中局域g矩阵为 S=3的VBS态对应的局域g矩阵为 -() 0h= =(-.2）】 12-360-212-1: (31 其中我们用到了上一节中介绍的自旋1的Schwinger玻 色子表示。依次类推，任意自旋S的VBS态也可以写成 对AKLT模型，任意自旋S的VBS态对应的矩阵乘积形 矩库乘积形式的波函数，如S=2的VBS态对应的局 式由Totsuka和Suzuki首先给出的3。将VBS态写成 域g矩阵为 矩阵乘积形式的优势是矩阵乘积形式的波函数中只包 2V31),2v612, 含局域的g矩阵，而不包含S 被色子表 下非 20) 95= -23-1)-40) -2v31):(33) 局域的价符 261-2,2v3-1),210), 乘积态中的物理可观测量信息可以直接通过转移矩阵 1994-2019 China Academic Joural Electronic Publishing House.All rights reserved. http:/www.cnki.ne

8 涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 点关联函数， 它们都在长距离下呈指数形式衰减， 关联长度为ξ = 1/ ln(1 + 2 S )。VBS波函数图像还提 供了另外一个特征：开放边界条件下的边缘态。 在 开放边界条件的一维链中，自旋为S的VBS态在链的 两端各出现一个近自由的自旋为S/2的边缘态。 吴 大琪曾指出[23]，在1 + 1维O(3)非线性σ模型的描述 中， 拓扑项在开放边界条件下在链的两端各给出一 个自旋S/2边缘态。 这一针对一维整数自旋反铁磁 海森堡模型的预言通过DMRG的数值计算得到了证 实[24]。 在实验方面，通过对Ni(C2H8N2)2NO2(ClO4) (NENP)，Y2BaNiO5等自旋1的准一维磁性材料进行 电子自旋共振(ESR)[25,26]， 核磁共振(NMR)[27]和中 子散射[28]等实验，Haldane能隙和自旋1/2边缘态也 均被证实。 更多的Haldane能隙型准一维材料可参 阅Yamashita等人的综述文章[29]。 结合这些理论和实 验结果，人们普遍接受了VBS图像和边缘态是一维量 子整数自旋链中Haldane相的基本特征。 近年来，VBS态还引起了量子信息领域的广泛关 注。 例如，VBS态作为一个多粒子纠缠态可以被用来 测试各种多粒子纠缠判据[30,31,32]。 从潜在应用的角 度而言，VBS态可用来进行量子计算[33]。由于VBS态 一般具有有限能隙，Brennen和Miyake[34]最近还提出 可以在自旋为1的AKLT模型的VBS简并基态中构造 基于量子测量的量子计算方案，在这种方案中， 体系 的能隙可以用来抵抗噪声，从而保护了存储信息的量 子态。 C. 矩阵乘积态 1. VBS态的矩阵乘积形式 这一节中我们简要介绍矩阵乘积态的概念。 从 历史上讲，矩阵乘积态是作为VBS态的一种表示形 式引入的[35∼39]， 但近年来矩阵乘积态本身的理论 及其在数值计算方法上的应用，其重要意义已经大 大超出最初的范畴。 众所周知，DMRG方法[40]是 研究一维量子关联系统最有效的数值计算方法。 Ostlund ¨ 和Rommer发现[41,42]，DMRG的计算如果收 敛，其重整化不动点的波函数将具有矩阵乘积态的形 式。 这一发现不仅推动了基于矩阵乘积形式变分基态 的数值计算方法革新[43]，还为DMRG的有效性提供了 理论依据。 我们还是从AKLT模型的VBS态开始引入矩阵乘 积态。不妨先考虑最简单的S = 1情形，在周期型边界 条件下，VBS态可利用矩阵外积写成矩阵乘积形式的 波函数 |VBSi = Y i (a † i,↑ a † i+1,↓ − a † i,↓ a † i+1,↑ )|vi = Y i [· · · ³ a † i−1,↑ a † i−1,↓ ´ Ã a † i,↓ −a † i,↑ ! ³ a † i,↑ a † i,↓ ´ Ã a † i+1,↓ −a † i+1,↑ ! · · · ] = Tr(g1g2 · · · gN ) 其中局域g矩阵为 gi = Ã a † i,↑ a † i,↓ (a † i,↓ ) 2 −(a † i,↑ ) 2 −a † i,↑ a † i,↓ ! |vi = µ |0i i √ 2 |−1i i − √ 2 |1i i − |0i i ¶ 其中我们用到了上一节中介绍的自旋1的Schwinger玻 色子表示。依次类推，任意自旋S的VBS态也可以写成 矩阵乘积形式的波函数， 如S = 2的VBS态对应的局 域g矩阵为 gi =   2 |0i i 2 √ 3 |1i i 2 √ 6 |2i i −2 √ 3 |−1i i −4 |0i i −2 √ 3 |1i i 2 √ 6 |−2i i 2 √ 3 |−1i i 2 |0i i   (33) S = 3的VBS态对应的局域g矩阵为 gi = 0 BB@ −6 |0i i −12 |1i i −6 √ 10 |2i i −12√ 5 |3i i 12 |−1i i 18 |0i i 12√ 3 |1i i 6 √ 10 |2i i −6 √ 10 |−2i i −12√ 3 |−1i i −18 |0i i −12 |1i i 12√ 5 |−3i i 6 √ 10 |−2i i 12 |−1i i 6 |0i i 1 CCA (34) 对AKLT模型，任意自旋S的VBS态对应的矩阵乘积形 式由Totsuka和Suzuki首先给出的[35]。 将VBS态写成 矩阵乘积形式的优势是矩阵乘积形式的波函数中只包 含局域的g矩阵， 而不包含Schwinger玻色子表示下非 局域的价键算符。在 II. C. 2 节中， 我们将看到矩阵 乘积态中的物理可观测量信息可以直接通过转移矩阵

涂湾洁，张广铭：一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描还 的计算得到。 其中A为D×D矩阵，它与上述用局域的g矩阵定 义矩阵乘积态的等价性可以通过矩阵定义式得到 2.转移矩阵方法 在矩阵乘积态中，关联函数的计算可以利用转移 矩阵方法73。 在周期性边界条件下，具有N个格片 =∑Aam (36) 的一维链中平移不变的矩阵乘积态的一般形式为 =∑T(4A…Am…m 上述矩阵乘积态未归一化，若采用A标记矩阵A的复共 (35)轭，则该矩阵乘积态的归一化常数为 (=∑∑T(1…mT4al…Amm…mm…m对 一三m44…A 进一步的简化计算需利用矩阵的如下性质： 其中转移矩阵G定义为 (39) Tr(B)Tr(C)=Tr(B⑧C) (37 G=∑（©A) (BCD)⊙(EFG=(B⑧E)(C⊙F)(D⑧G(38)它是一个D2×D2的厄密矩阵。 归一化常数的计算提供了构造转移矩阵方法的直 并由此得到用转移矩阵表示的矩阵乘积态归一化常数 g时 () Gp=∑(m1P1m)(A1⑧A）(4o) -e4e4 …(4mwl@AmN1 其中户是定义在单个格点上的算符，若P是单位算符， 则D2×D的矩阵G约化为转移矩阵G。利用这一映 -TrGN 射，矩阵乘积态中的两点关联函数可计算为： (PB)- 7。∑…mhox1gm…n ×…(m引Pm,〉Am1gAml)…(m②Amwj T(GN-j+i-1GpGi-i-Gp) TGN 194-019 China Academie Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.net

涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 9 的计算得到。 2. 转移矩阵方法 在矩阵乘积态中，关联函数的计算可以利用转移 矩阵方法[37,39]。 在周期性边界条件下，具有N个格点 的一维链中平移不变的矩阵乘积态的一般形式为 |Ψi = X m1···mN Tr(A [m1]A [m2] · · · A [mN ] )|m1 · · · mN i (35) 其中A[mN ]为D × D矩阵，它与上述用局域的g矩阵定 义矩阵乘积态的等价性可以通过g矩阵定义式得到 gi ≡ X mi A [mi] |mii (36) 上述矩阵乘积态未归一化，若采用A¯标记矩阵A的复共 轭，则该矩阵乘积态的归一化常数为 hΨ|Ψi = X m0 1 ···m0 N X m1···mN Tr(A¯[m0 1 ] · · · A¯[m0 N ] )Tr(A [m1] · · · A [mN ] )hm0 1 · · · m0 N |m1 · · · mN i = X m1···mN Tr(A¯[m1]A¯[m2] · · · A¯[mN ] )Tr(A [m1]A [m2] · · · A [mN ] ) 进一步的简化计算需利用矩阵的如下性质： Tr(B)Tr(C) = Tr(B ⊗ C) (37) (BCD) ⊗ (EF G) = (B ⊗ E)(C ⊗ F)(D ⊗ G)(38) 并由此得到用转移矩阵表示的矩阵乘积态归一化常数 hΨ|Ψi = X m1···mN Tr[(A¯[m1] ⊗ A [m1] )(A¯[m2] ⊗ A [m2] ) · · ·(A¯[mN ] ⊗ A [mN ] )] = TrG N 其中转移矩阵G定义为 G = X m ³ A¯[m] ⊗ A [m] ´ (39) 它是一个D2 × D2的厄密矩阵。 归一化常数的计算提供了构造转移矩阵方法的直 观例子，为进一步计算矩阵乘积态中物理可观测量的 信息，不妨定义如下映射： GP = X m,m0 hm0 | Pˆ |mi ³ A¯[m0 ] ⊗ A [m] ´ (40) 其中Pˆ是定义在单个格点上的算符。若Pˆ是单位算符， 则D2 × D2的矩阵 GP约化为转移矩阵G。利用这一映 射，矩阵乘积态中的两点关联函数可计算为： hPiPj i = hΨ| PiPj |Ψi hΨ|Ψi = 1 TrGN X m0 1 ···m0 N X m1···mN Tr(A¯[m0 1 ] · · · A¯[m0 N ] )Tr(A [m1] · · · A [mN ] ) × hm0 1 · · · m0 N | PiPj |m1 · · · mN i = 1 TrGN X m0 i ,m0 j X m1···mN Tr[(A¯[m1] ⊗ A [m1] )· · ·(hm0 i | Pi |mii A¯[m0 i ] ⊗ A [mi] ) × · · ·( ­ m0 j ¯ ¯ Pj |mj i A¯[m0 j ] ⊗ A [mj ] )· · ·(A¯[mN ] ⊗ A [mN ] )] = Tr(GN−j+i−1GP Gj−i−1GP ) TrGN

涂湾洁，张广铭：一维量子白旋链中拓扑有序态的物理描述 在执力学极限下，N。,该两点关联函数的 值入mx,该非局域弦序参量的计算可约化为 值佐赖于转移矩阵G的本征值谱，(BB在长距离 要么趋 最大 值入x有简并) ,要么呈指数形式衰减。 这里我们识 考虑转移矩阵G的最大本征值无简并的情形，例如山 C.1节中讨论的VBS态即属于这种情形。不妨设转移 矩阵G的一系列本征值为入，相应的本征矢为入》，其 (46) 中1≤n≤D2,则转移矩阵G可写作 其中以 }是对应王。的晶大本征值的本 矢，可以看出 在 中使用转移矩 方法可 G=∑nAn)Anl 以使得可观测量的期待值和关联函数的计算大大 化，这一方法将在第Ⅲ章和第V章中得到广泛的 在热力学极限下，N一o,两点关联函数(PP》可进 应用， 一步约化为 L.一维SO(m)对称的严格可解量子自旋链 ▣RP"点Q.lG.G-tGr） 模型 二以--1 =》X ((G）A.SO(n)李代数的数学背景 L.矢量表示与Cartan-Weyl形式 通过第Ⅱ章对一维量子自旋链系统的回顾，我们 可以看出严格可解模型在理解一维量子自旋系统中所 起的关键作用。在量子关联体系中，严格可解模型并 (42) 不多见，一旦得到新的亚格可解模型，通常将发现新 其中关联长度为 的物理。在本章中，我们将引入一类新的一维严格可 解自旋链模型4，这类模型其有S0 为 1 专=nAmx/网 (43) 在SO(n)李代数的n维矢量表示下，Hilbert?空间 这里X是满足AnIGelAm)≠0和(AGpA)≠ 中的n个正交归一完备基可用Dirac符号表示为n), 0的转移矩阵G所有本征值入n里绝对值最大的一个。 其中1≤a≤n.在这n个基矢之间的转动可用n(m- 用转移矩阵方法进行如下非局域弦序参量的计算 1)/2个SO(n)李代数的生成元算符Lb表示为 也可依次类推 Lab ne)=iveln")-iaeln). (47) (.II p(Q)P》 其中1≤a<b≤n。利用这一等式可以证明，这些生 ct-"tEaayod 成元算符满足SO()李代数的对易关系 (44) [ab Lo]=i(+)(48) 其中GQ定义为 根据半单李代数的Cartan分类，SO(n)李代数 需要分奇数n=21+1和偶数n=21分别讨论。 李代数S0(21+1)和S0(2I)都是秩为1的代数，即它 在热力学极限下，如果弦的长度一也趋于无穷，则们的Cartan子代数包含1个相互对易的生成元。 当且仅当G。与转移矩阵G的最大本征值相同，该非 根据S0(n)李代数的对易关系(48)式，我们不妨选 局域弦参量才可能不为零.如果G。也具有最大本征 取Cartan生成元为L2,L31,,L2-1.2,并用它们 1994-2019 China Academie Joumal Electronie Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.ne

10 涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 在热力学极限下，N → ∞，该两点关联函数的 值依赖于转移矩阵G的本征值谱，hPiPj i在长距离 下（|j − i|很大）要么趋于一个常数（G的最大本征 值λmax有简并），要么呈指数形式衰减。 这里我们只 考虑转移矩阵G的最大本征值无简并的情形，例如 II. C. 1 节中讨论的VBS态即属于这种情形。不妨设转移 矩阵G的一系列本征值为λn，相应的本征矢为|λni，其 中1 ≤ n ≤ D2，则转移矩阵G可写作 G = X D2 n=1 λn |λni hλn| (41) 在热力学极限下，N → ∞，两点关联函数hPiPj i可进 一步约化为 lim N→∞ hPiPj i = 1 λ j−i+1 max hλmax| GP G j−i−1GP |λmaxi = XD2 n=1 λ j−i−1 n λ j−i+1 max hλmax| GP |λni hλn| GP |λmaxi 可以看出，在长距离下关联函数hPiPj i呈指数形式衰 减 lim N→∞ hPiPj i ∼ exp µ − |j − i| ξ ¶ (42) 其中关联长度为 ξ = 1 ln |λmax/λ0 | (43) 这里λ 0是满足hλn| GP |λmaxi 6= 0和hλmax| GP |λni 6= 0的转移矩阵G所有本征值λn里绝对值最大的一个。 用转移矩阵方法进行如下非局域弦序参量的计算 也可依次类推 * Pi j Y−1 l=i+1 exp(iθQl)Pj + = Tr[GN−j+i−1GP (GQ) j−i−1GP ] TrGN (44) 其中GQ定义为 GQ = X m,m0 hm0 | exp(iθQˆ)|mi ³ A¯[m0 ] ⊗ A [m] ´ (45) 在热力学极限下，如果弦的长度|j − i|也趋于无穷，则 当且仅当GQ与转移矩阵G的最大本征值相同， 该非 局域弦参量才可能不为零。如果GQ也具有最大本征 值λmax，该非局域弦序参量的计算可约化为 lim |j−i|→∞ lim N→∞ * Pi j Y−1 l=i+1 exp(iθQl)Pj + = 1 λ2 max hλmax| GP |λQ,maxi hλQ,max| GP |λmaxi (46) 其中|λQ,maxi是对应于GQ的最大本征值λmax的本征 矢。可以看出，在矩阵乘积态中使用转移矩阵方法可 以使得可观测量的期待值和关联函数的计算大大简 化， 这一方法将在第 III 章和第 IV 章中得到广泛的 应用。 III. 一维SO(n)对称的严格可解量子自旋链 模型 A. SO(n)李代数的数学背景 1. 矢量表示与Cartan-Weyl形式 通过第 II 章对一维量子自旋链系统的回顾，我们 可以看出严格可解模型在理解一维量子自旋系统中所 起的关键作用。 在量子关联体系中，严格可解模型并 不多见，一旦得到新的严格可解模型，通常将发现新 的物理。在本章中， 我们将引入一类新的一维严格可 解自旋链模型[44,45]，这类模型具有SO(n)对称性，为 此我们首先简要回顾SO(n)李代数的数学背景。 在SO(n)李代数的n维矢量表示下，Hilbert空间 中的n个正交归一完备基可用Dirac符号表示为|n a i， 其中1 ≤ a ≤ n。在这n个基矢之间的转动可用n(n − 1)/2个SO(n)李代数的生成元算符L ab表示为 L ab|n c i = iδbc|n a i − iδac|n b i, (47) 其中1 ≤ a < b ≤ n。利用这一等式可以证明，这些生 成元算符满足SO(n)李代数的对易关系 [L ab, Lcd] = i(δadL bc+δbcL ad−δacL bd−δbdL ac) (48) 根据半单李代数的Cartan分类，SO(n)李代数 需要分奇数n = 2l + 1和偶数n = 2l分别讨论。 李代数SO(2l + 1)和SO(2l)都是秩为l的代数，即它 们 的Cartan子 代 数 包 含l个 相 互 对 易 的 生 成 元。 根据SO(n)李代数的对易关系(48)式，我们不妨选 取Cartan生成元为{L 12, L34, . . . , L2l−1,2l}，并用它们