第八章 物体的弹性骨的力学性质 在研究列体的运动时，我们忽略了在外 力作用下物体形状和大小的变化，从而引 入了刚体这一理想模型。实际上任何物体在外力 作用下其形状和大小都会发生变化，即产生一定 的形变。若形变不超过一定限度，当除去外力后， 物体能完全恢复原状，这种形变称为弹性形变： 若形变超过一定限度，当除去外力后，物体不能 再恢复原状，这种形变称为塑性形变。研究物体 在力的作用下所产生的形变，不仅在工程上，而 且在生物医学上也有着重要意义。这一章主要讨 论物体的弹性形变及骨的力学性质
第八章 物体的弹性 骨的力学性质 在研究刚体的运动时，我们忽略了在外 力作用下物体形状和大小的变化，从而引 入了刚体这一理想模型。实际上任何物体在外力 作用下其形状和大小都会发生变化，即产生一定 的形变。若形变不超过一定限度，当除去外力后， 物体能完全恢复原状，这种形变称为弹性形变； 若形变超过一定限度，当除去外力后，物体不能 再恢复原状，这种形变称为塑性形变。研究物体 在力的作用下所产生的形变，不仅在工程上，而 且在生物医学上也有着重要意义。这一章主要讨 论物体的弹性形变及骨的力学性质
第一节 应力和应变 1.1应力 设一粗细均匀、截面积为S的棒，在棒的两端施加 大小相等、方向相反的拉力F,如图所示。在棒上 任取一截面BC,由于棒处于平衡状态，根据牛顿 第三定律，则被BC分开的两部分存在有相互作用， 这种相互作用称为张力。对整个棒来说，张力是内 力，对被分开的部分来说，它又是外力，而且是作 用在整个横截面上的，其大小与所施加的拉力F相 等，在横截面上均匀分布。 我们将横截面上的力与横 截面积的比称为应力，用 6表示，即ō=F/S
第一节 应力和应变 1.1 应力 设一粗细均匀、截面积为S的棒，在棒的两端施加 大小相等、方向相反的拉力F，如图所示。在棒上 任取一截面BC，由于棒处于平衡状态，根据牛顿 第三定律，则被BC分开的两部分存在有相互作用， 这种相互作用称为张力。对整个棒来说，张力是内 力，对被分开的部分来说，它又是外力，而且是作 用在整个横截面上的，其大小与所施加的拉力F 相 等,在横截面上均匀分布。 我们将横截面上的力与横 截面积的比称为应力，用 σ表示，即 σ =F/S S F F C B
当棒处于拉伸状态时，这一应力称为张应 力；当棒处于压缩状态时，这一应力称为 压应力。张应力和压应力都是垂直于横截 面的，因此又称正应力。应力的单位是Nm2。 设有一长方形物体，底面固定，现在上表面施加 一与表面相切的作用力F,如图所示。由于物体 是处于平衡状态，所以底面也受到一与F大小相 等、方向相反的切向力作用。任取一与底面平行 的横截面，显然横截面上下两部分也受到与横截 面相切的且与F大小相 等的力的相互作用，这 种力是沿切向的内力。 这种情况下单位截面上
当棒处于拉伸状态时，这一应力称为张应 力；当棒处于压缩状态时，这一应力称为 压应力。张应力和压应力都是垂直于横截 面的，因此又称正应力。应力的单位是N.m-2 。 设有一长方形物体，底面固定，现在上表面施加 一与表面相切的作用力F，如图所示。由于物体 是处于平衡状态，所以底面也受到一与F大小相 等、方向相反的切向力作用。任取一与底面平行 的横截面，显然横截面上下两部分也受到与横截 φ F F Δx l0 面相切的且与 F 大小相 等的力的相互作用，这 种力是沿切向的内力。 这种情况下单位截面上
的内力称为切应力，用τ表示。若横截面 积为S,则切应力 S 当一固定体放在静止的液体或气体中时，固体要 受到流体静压强的作用。不论固体表面的形状如 何，流体静压强总是垂直于固体表面的。这种压 强不仅作用于表面上，在固体内任一平面，都有 垂直于该面的压强作用。这种压强也是一种应力， 是由于物体受到均匀压强作用而产生的。同样， 当液体或气体的表面受到与其表面垂直的压强作 用时，其内部任一想象平面上都有垂直该面的应 力作用
的内力称为切应力，用τ 表示。若横截面 积为 S ，则切应力 当一固定体放在静止的液体或气体中时，固体要 受到流体静压强的作用。不论固体表面的形状如 何，流体静压强总是垂直于固体表面的。这种压 强不仅作用于表面上，在固体内任一平面，都有 垂直于该面的压强作用。这种压强也是一种应力， 是由于物体受到均匀压强作用而产生的。同样， 当液体或气体的表面受到与其表面垂直的压强作 用时，其内部任一想象平面上都有垂直该面的应 力作用。 F S =
总之，应力是作用在物体内单位截面积上 的内力。应力反应了发生形变的物体内部 的紧张程度。 例1、人骨骼上的二头肌臂上部肌肉可以对相连的 骨骼施加约600N的力，设二头肌横截面积为50cm。 腱将肌肉下端联到肘关节下面的骨骼上，设腱的截 面积约0.5cm。试求二头肌和腱的张应力。 解：张应力是作用在单位面积上的内力，对二头 肌有： 600 50×104 =1.2×105N,m2 F 对腱 0.5×10=12×107Nm2 600 S
总之，应力是作用在物体内单位截面积上 的内力。应力反应了发生形变的物体内部 的紧张程度。 5 2 4 600 1.2 10 50 10 F N m S − − = = = 对腱 7 2 4 600 1.2 10 0.5 10 F N m S − − = = = 例1、人骨骼上的二头肌臂上部肌肉可以对相连的 骨骼施加约600N的力，设二头肌横截面积为50cm2 。 腱将肌肉下端联到肘关节下面的骨骼上，设腱的截 面积约0.5cm2。试求二头肌和腱的张应力。 解： 张应力是作用在单位面积上的内力，对二头 肌有：
1.2 应变 物体受到应力作用时，其长度、形状和 体积都要发生变化，这种变化与物体原来的 长度，形状或体积的比称为应变。上面所讨论的每 种应力都有与之相对应的应变。 (1)张应变与压应变 有一原长为的棒的两端受到大小相等，方向相反 的作用力时，棒伸长到1，则棒的绝对伸长△曰1一1 棒的绝对伸长与原来的比称为张应变，用ε表示， 即： 1-lo △ 当棒受到压应力作用时，上式仍然成立，此时的
1.2 应 变 物体受到应力作用时，其长度、形状和 体积都要发生变化，这种变化与物体原来的 长度，形状或体积的比称为应变。上面所讨论的每 种应力都有与之相对应的应变。 0 0 0 l l l l l − = = 当棒受到压应力作用时，上式仍然成立，此时的 （1）张应变与压应变 有一原长为l0的棒的两端受到大小相等，方向相反 的作用力时，棒伸长到l，则棒的绝对伸长Δl=l－l0。 棒的绝对伸长与原来的比称为张应变，用ε表示， 即：
应变称为压应变。压应变是棒缩短的长度 与棒原长之比。 (2)切应变 一长方体在切应力的作用下形状发生变化，变为 斜的平行六面体。所有与底面平行的截面在切应 力作用下都要发生相对位移。设上下两面间的距 离为OA=1,两表面的相对位移为△x=AA,则有： AA OA 我们可以用φ角来表示由切应力引起的形变，称 为切应变，也叫做剪应变。在弹性限度内，Φ角很 小，因此有tg0≈φ，则切应变为：
应变称为压应变。压应变是棒缩短的长度 与棒原长之比。 我们可以用 φ 角来表示由切应力引起的形变，称 为切应变，也叫做剪应变。在弹性限度内，φ角很 小，因此有tgφ≈ φ,则切应变为： （2）切应变 一长方体在切应力的作用下形状发生变化，变为 斜的平行六面体。所有与底面平行的截面在切应 力作用下都要发生相对位移。设上下两面间的距 离为OA= l0 , 两表面的相对位移为Δx=AA’，则有： ' 0 AA x tg OA l = =
(3)体应变 对应于流体静压强的应变，称为体应变。体应变 定义为物体的体积变化△V与物体原来体积V。的比 用0表示，即： △V 第二节弹性模量 2.1弹性与塑性 产生一定的变形所需要的应力决定了某种材料 在受力状态下的性质，因此常需要通过测定材料的
0 x l = （3）体应变 对应于流体静压强的应变，称为体应变。体应变 定义为物体的体积变化ΔV与物体原来体积V0的比， 用θ表示，即： 0 V V = 第二节 弹性模量 2.1 弹性与塑性 产生一定的变形所需要的应力决定了某种材料 在受力状态下的性质，因此常需要通过测定材料的
应力与应变曲线来研究材料的性质。不同 材料的应力~应变曲线不同。如图是某金 属材料进行拉伸实验得到的应力~应变曲 线。应力是张应力，应变是张应变。曲线的第一 险段由O点到A点为一直线。这一阶段应力不大， 相应的应变也不大，应力与 应变成正比。A点称为比例 极限，在比例极限内应力与 应变成正比，这一规律称为 胡克定律，不同的材料其比 应变 例系数不同。由A点到B点， 随着应力的增大，相应的应变有比较大的增加，这 时应力与应变不再成正比。但是由O点至B点之间
• • • • D O C B A 应力 应变 O’ 应力与应变曲线来研究材料的性质。不同 材料的应力 ~ 应变曲线不同。如图是某金 属材料进行拉伸实验得到的应力~ 应变曲 线。应力是张应力，应变是张应变。曲线的第一 阶段由O点到A点为一直线。这一阶段应力不大， 相应的应变也不大，应力与 应变成正比。A 点称为比例 极限，在比例极限内应力与 应变成正比，这一规律称为 胡克定律，不同的材料其比 例系数不同。由A点到B 点， 随着应力的增大，相应的应变有比较大的增加，这 时应力与应变不再成正比。但是由O 点至B 点之间
将引起形变的外力除去后，材料可沿原曲 线返回，即恢复原来的长度，形变消失。 这表明，在OB范围内材料具有弹性，所以 将B点称为弹性极限。当应力超过B点后，就是曲 线的第二阶段，如到达C点，这时除去外力后，应 变不会变为零，材料不会沿实线返回，而是沿虚线 返回，存在剩余形变OO'。超过C点后，再增大外 力，应变随着有较大的增加，直到D点时材料发生 断裂。由B点到D点材料发生的不再是弹性形变， 而是塑性形变。材料断裂时的应力称为抗张强度或 极限强度。若对材料进行的是压缩实验，则断裂点 的应力称为材料的抗压强度。 如果材料的断裂点D离弹性极限B较远，即材
将引起形变的外力除去后，材料可沿原曲 线返回，即恢复原来的长度，形变消失。 这表明，在OB范围内材料具有弹性，所以 将B点称为弹性极限。当应力超过B 点后，就是曲 线的第二阶段，如到达C点，这时除去外力后，应 变不会变为零，材料不会沿实线返回，而是沿虚线 返回，存在剩余形变 OO’。超过C 点后，再增大外 力，应变随着有较大的增加，直到D点时材料发生 断裂。由B 点到D 点材料发生的不再是弹性形变， 而是塑性形变。材料断裂时的应力称为抗张强度或 极限强度。若对材料进行的是压缩实验，则断裂点 的应力称为材料的抗压强度。 如果材料的断裂点D 离弹性极限B 较远，即材