第14章稳恒磁场 夕一、磁感应强度 运动电荷或载流导线在空间激发的磁场性质的物理量称为磁感应强度，它的大小定义 P 式中P=为试验线圈的磁矩，万=@】 产为试验线圈面积S的法向单位矢量。：是试验线圈在试验位置上所受到的最大磁力矩 磁感应强度的方向就是试验线圈平衡位置的磁矩P”的方向。 或B的定义为： qu 式中心为运动电荷9在该点的速度量值，及：为运动电荷在该点受到的最大磁力。 豆、立、苕遵守右手螺旋法则。 磁感应强度的单位为1特斯拉1韦伯米10高斯。 9 二、单奥-萨伐尔定律 电流元在离它广位置处所激发的慰感应强度 dB=Mo laixr 4x 它的大小为： 4r 式中a是i与产之间小于180的夹角。 dB的方向由×F所确定。 几种形状载流导线所产生的磁场： 1、载流直导线 图14-1 图11-2 有限长载流直导线 Ana 0 无限长载流直导线 ⑧8@心2⊙⑧®区62刘 图11-3 2、载流圆线圈
第 14 章 稳恒磁场 一、磁感应强度 运动电荷或载流导线在空间激发的磁场性质的物理量称为磁感应强度，它的大小定义 为 式中 为试验线圈的磁矩， 。 为试验线圈面积 S 的法向单位矢量。 是试验线圈在试验位置上所受到的最大磁力矩， 磁感应强度的方向就是试验线圈平衡位置的磁矩 的方向。 或 B 的定义为： 式中 为运动电荷 在该点的速度量值， 为运动电荷在该点受到的最大磁力。 、 、 遵守右手螺旋法则。 磁感应强度的单位为 1 特斯拉=1 韦伯 = 高斯。 二、毕奥-萨伐尔定律： 电流元 在离它 位置处所激发的磁感应强度 它的大小为： 式中 是 与 之间小于 的夹角， 的方向由 所确定。 几种形状载流导线所产生的磁场： 1、载流直导线 有限长载流直导线 无限长载流直导线 2、载流圆线圈
B=%1 圆心处 2 8=4R2 轴线上 2r3 言-2 3、载流直螺线管 有限长载流直螺线管的轴线上 B=(c-cos) 2 无限长裁流直螺线管 内部：B=40 外部：B=0 4、无限大平面电流 8=26 或 式中对和都表示单位宽度电流强度。 夕三、运动电荷产生的磁场 8=出9ixF 4x r3 它的大小： =给号ma 它的方向由？×产确定。 夕四、安培环路定律 在磁场中，沿任何闭合曲线豆矢量的线积分等于真空中的磁导率凸乘以包围在这闭合曲线内 各电流的代数和，其数学表达式为 应用安培环路定律时应注意：闭合路在L上的百是空间所有电流产生的总的磁感应强度：沿 闭合曲线B失量线积分，等于马乘以被闭合曲线乙所包围的电流代数和而与闭合曲线外的电
圆心处 轴线上 或 式中 叫线圈的磁矩。 3、载流直螺线管 有限长载流直螺线管的轴线上 无限长载流直螺线管 内部： 外部： 4、无限大平面电流 或 式中 和 都表示单位宽度电流强度。 三、运动电荷产生的磁场 它的大小： 它的方向由 确定。 四、安培环路定律 在磁场中，沿任何闭合曲线 矢量的线积分等于真空中的磁导率 乘以包围在这闭合曲线内 各电流的代数和，其数学表达式为 应用安培环路定律时应注意：闭合路在 上的 是空间所有电流产生的总的磁感应强度；沿 闭合曲线 矢量线积分，等于 乘以被闭合曲线 所包围的电流代数和而与闭合曲线外的电
流无关：电流方向与回路方向成右手系的取正，成左手系的取负：安培环流定律是一普遍规 律，但要用安培环流定律来求磁感应强度，那么空间电流的分布必须要具有特殊的对称性。 1、无限长直圆柱形均匀载流导线内外的磁场 我流导俊内：R. 20 2、螺绕环所产生的磁场 8=凸M 螺绕环内： m 螺线环外：B-0 当环形螺绕管截面很小时，即截面线度远小于环的平均半径时B=4,以。相当于长直螺线 管。 夕五、磁场中的高斯定理 由于磁感应线是闭合曲线，因此通过任一闭合曲面的磁通量必然为零。这就是磁场中的高斯定 理，它的数学表达式为： 8s=0 它表明了磁场是个涡旋场，不存在磁荷。 号大、磁场对较流导线的作用 1、安培定律 电流元在磁感应强度为B的磁场中所受到的安培力： dF=ldix 2、通电线圈在磁感应强度均匀为B的磁场中所受到的磁力矩 M=方×B 式中户为线圈的磁矩等于网 3、磁力的功 不论通电导线所受的磁场力的功厂F 还是适电线圈在磁力矩作用下所作的功」kp,都 可以表示为 A=J1d师 如果导线或线圈运动过程中它们的电流！不变，那么磁力所作的功只需电流！乘上磁通量的变 化△中即可，即A=△中 夕七、碳场对运动电荷的作用—洛仑兹力
流无关；电流方向与回路方向成右手系的取正，成左手系的取负；安培环流定律是一普遍规 律，但要用安培环流定律来求磁感应强度，那么空间电流的分布必须要具有特殊的对称性。 1、无限长直圆柱形均匀载流导线内外的磁场 载流导线内 ： 载流导线外 ： 2、螺绕环所产生的磁场 螺绕环内： 螺线环外： 当环形螺绕管截面很小时，即截面线度远小于环的平均半径时 。相当于长直螺线 管。 五、磁场中的高斯定理 由于磁感应线是闭合曲线，因此通过任一闭合曲面的磁通量必然为零。这就是磁场中的高斯定 理，它的数学表达式为： 它表明了磁场是个涡旋场，不存在磁荷。 六、磁场对载流导线的作用 1、安培定律 电流元 在磁感应强度为 的磁场中所受到的安培力： 。 2、通电线圈在磁感应强度均匀为 的磁场中所受到的磁力矩 式中 为线圈的磁矩等于 。 3、磁力的功 不论通电导线所受的磁场力的功 还是通电线圈在磁力矩作用下所作的功 ，都 可以表示为 如果导线或线圈运动过程中它们的电流 不变，那么磁力所作的功只需电流 乘上磁通量的变 化 即可，即 七、磁场对运动电荷的作用——洛仑兹力
克=g5×B 式中可知1心，所以洛仑兹力不作功。 带电粒子在均匀场磁内运动的规律： 1、带电粒子运动的速度万与磁感应强度B的方向平行时，带电粒子受到的洛仑兹力为零。粒 子将作匀速直线运动。 2、带电为的粒子的速度万与B的方向垂直时，粒子将作圆周运动，可以根据 R=quB =2m 的关系求得带电粒子运动的轨迹半径”gB,带电粒子运动的周期 98 3、带电9的粒子速度D与B的方向成日角时，粒子将作匀速螺旋运动，螺旋线的半径 2x gB ,粒子运动的周期T仍为gB,螺距 )人、属耳效应 把一载流导体放在磁场中，如果磁场方向与电流方向垂直，由于导体中的载流子，受到洛仑兹 力的作用而发生横向漂移，在磁场和电流二者垂直的方向上出现横向电势差，这一现象叫霍耳 效应，霍耳电势差 g 其中是在磁场方向上霍耳元件的厚度，R:是霍耳系数，它仅与霍耳元件的材料有关，且 R= ng )霍耳系数实际就是霍耳元件的载流子浓度的倒数。 9 九、真空中的静电场与稳恒磁场比较表 静电场 稳恒电流的磁场 场的产生由静止电荷激发 由稳恒电流（运动电荷）微发 场的定义 ®、 1F=g×B 9或=g西 2d=ai×B 3M=产×B 三种方式定义的B等效 「范=g 高斯定理： 高斯定理： 反映静电场是有源场（存在电荷） 反映磁场是无源场（不存在磁荷）》
式中可知 ，所以洛仑兹力不作功。 带电粒子在均匀场磁内运动的规律： 1、带电粒子运动的速度 与磁感应强度 的方向平行时，带电粒子受到的洛仑兹力为零。粒 子将作匀速直线运动。 2、带电为 的粒子的速度 与 的方向垂直时，粒子将作圆周运动，可以根据 的关系求得带电粒子运动的轨迹半径 ，带电粒子运动的周期 。 3、带电 的粒子速度 与 的方向成 角时，粒子将作匀速螺旋运动，螺旋线的半径 ，粒子运动的周期 仍为 ，螺距 。 八、霍耳效应 把一载流导体放在磁场中，如果磁场方向与电流方向垂直，由于导体中的载流子，受到洛仑兹 力的作用而发生横向漂移，在磁场和电流二者垂直的方向上出现横向电势差，这一现象叫霍耳 效应，霍耳电势差 其中 是在磁场方向上霍耳元件的厚度， 是霍耳系数，它仅与霍耳元件的材料有关，且 （或 ）霍耳系数实际就是霍耳元件的载流子浓度的倒数。 九、真空中的静电场与稳恒磁场比较表 静 电 场 稳恒电流的磁场 场的产生 由静止电荷激发 由稳恒电流（运动电荷）激发 场的定义 或 三种方式定义的 等效 场 的 高斯定理： 反映静电场是有源场（存在电荷） 高斯定理： 反映磁场是无源场（不存在磁荷）
电力线出发于正电荷终止于负电荷 磁力线为无头无尾的闭合曲线 于B=4∑1 环路定理： 安培环路定理： 反映静电场是保守场 反映磁场是非保守场 克= 点电荷的场 运动电荷的磁场 43 d2= =lx于 电荷元的场 电流元的场 电偶极子的场 磁偶极子的场 D. - 4m3 8=t 无限长直线电荷的场 无限长直线电流的场 无限大平面电流的场 无限大平面电荷的场 场力的 点电荷在电场中受的力 安培定律 计算 市=di× 电偶极子在电场中受的力矩 磁矩在磁场中受的力矩 M=p× M=产.×B 场力的功 A=gd0(dU为电势的政变) A=冲(d冲为磁通量的改变) 场的能量 =6 1B2 度
性 质 电力线出发于正电荷终止于负电荷 环路定理： 反映静电场是保守场 磁力线为无头无尾的闭合曲线 安培环路定理： 反映磁场是非保守场 几 种 场 的 分 布 点电荷的场 电荷元的场 电偶极子的场 ； 无限长直线电荷的场 无限大平面电荷的场 运动电荷的磁场 电流元的场 磁偶极子的场 ； 无限长直线电流的场 无限大平面电流的场 场力的 计 算 点电荷在电场中受的力 电偶极子在电场中受的力矩 安培定律 磁矩在磁场中受的力矩 场力的功 场的能量 密 度 （ 为电势的改变） （ 为磁通量的改变）
第14章稳恒磁场 号【例141】无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔（如图141a所示），空 腔与导线的两轴线平行，间距为炉，若导体内的电流密度均匀为，」的方向平行与轴 线。求腔内任意点的磁感应强度5。 物图4-l行想图14-， 【解】半径为R的无限长圆柱形直线电流在柱体内离轴线r处的磁感应强度5可根据安培环 路定理： 15-w 即：82g=g2 8= 得 写成矢量形式： 豆，=24j×元 现在在这圆柱形导线内有一空腔，则和原实心圆柱体内在该圆柱形空腔处有一反向电流， 1=一J灯迭加是等效的，反向电流在空腔处产生的磁感应强度： 由达加原理，腔内的磁感应强度 8=瓦，+豆=54j×G-元) 由导线的横截面图b,可得：一产=云
第 14 章 稳恒磁场 【例 14-1】无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔（如图 14-1a 所示），空 腔与导线的两轴线平行，间距为 ，若导体内的电流密度均匀为 ， 的方向平行与轴 线。求腔内任意点的磁感应强度 。 【解】半径为 R 的无限长圆柱形直线电流在柱体内离轴线 r 处的磁感应强度 可根据安培环 路定理： 即： 得： 写成矢量形式： 现在在这圆柱形导线内有一空腔，则和原实心圆柱体内在该圆柱形空腔处有一反向电流， 迭加是等效的，反向电流在空腔处产生的磁感应强度： 由迭加原理，腔内的磁感应强度 由导线的横截面图 b，可得：
B=tojxa B=th 此式表明空腔内是一均匀磁场，它的大小 “,它的方向垂直于J,亦垂直于在。 乡【例142】面积为S载流为，任意形状的平面线圈，它的平面法向单位矢量为产， 它的赋矩。=分，求正在离线圈中心远大于线圈线度的r处的雕感应强度，即赋偶极子 彦=Pw cos日，+4oPm已8 的磁感应强度 23 4m3 【证明】第一步先求如图14-2所示在线圈轴线方向上，离线圈中心了处A点的磁感应 强度B。由毕奥-萨伐尔定律可知，线圈上电流元l1在离它'处的磁感应强度 a=x产 Ams 为便于分析其几何关系，将”放大、产缩小后画成图1(b),式中dB的方向垂直于和 户'所组成的平面，dB在轴线上分量 的，=bo0=r出aeco0 从图1b)中不难看出”m“为矿”和i所组成的平行四边形面积。即以A为顶点，a 为底边的三角形面积的2倍。而dma:c38表示以A为顶点d为底边的三角形在线圈 所在平面上投影面积的2倍，也就是以线圈中心0为顶点！为底边的三角形面积迟的2 倍，因此上式可写成 式中公就是图(b)中的阴影面积，由于所设场点A离线圈中心距离r远大于线圈的线度， 故离A点的距离P'非常接近于r,上式积分中P'可看作常量r,因此 dB=8sm日 dB在垂直轴线方向的分量 由于所设r远大于线圈的线度，所以血日非常接近1，”非常接近于，可将B上近似表 返=%W×产 示为如下矢量形式 43 将沿闭合回路积分，由于r为恒量，所以 成g器小0
此式表明空腔内是一均匀磁场，它的大小 ，它的方向垂直于 ，亦垂直于 。 【例 14-2】面积为 S 载流为 I，任意形状的平面线圈，它的平面法向单位矢量为 ， 它的磁矩 ，求证在离线圈中心远大于线圈线度的 r 处的磁感应强度，即磁偶极子 的磁感应强度 。 【证明】第一步先求如图 14-2a 所示在线圈轴线方向上，离线圈中心 处 A 点的磁感应 强度 B。由毕奥-萨伐尔定律可知，线圈上电流元 在离它 处的磁感应强度 为便于分析其几何关系，将 放大、 缩小后画成图 1（b），式中 的方向垂直于 和 所组成的平面， 在轴线上分量 从图 1（b）中不难看出 为 和 所组成的平行四边形面积，即以 A 为顶点， 为底边的三角形面积的 2 倍。而 表示以 A 为顶点 为底边的三角形在线圈 所在平面上投影面积的 2 倍，也就是以线圈中心 O 为顶点 为底边的三角形面积 的 2 倍，因此上式可写成 式中 就是图（b）中的阴影面积，由于所设场点 A 离线圈中心距离 r 远大于线圈的线度， 故 离 A 点的距离 非常接近于 r，上式积分中 可看作常量 r，因此 在垂直轴线方向的分量 由于所设 r 远大于线圈的线度，所以 非常接近 1， 非常接近于 r，可将 近似表 示为如下矢量形式 将 沿闭合回路积分，由于 r 为恒量，所以
因此在图1(a)条件下，磁偶极子产生的磁感应强度 =成+瓦=，-经 题图14-2(1) 题图142(2) 第二步，如图2()所示，求在远离磁偶极子P的产处在线圈所在平面上磁感应强度。 由毕奥-萨伐尔定律可知，和户都在线圈所在的平面上，线圈上任意一电流元所产生 的B都垂直于线圈所在平面，它的大小 =th! 。为分析其几何关系，将切 放大、广缩小后画成图2(b)。由场点A向线圈引两条割线，截得两电流元和， 这两电流元在场点A处产生的磁感应强度大小分别为： 式中d码加0和，m凸分别表示由1和出及和2：所组成的平行四边形面积2 和公？。由图2(b)可以判别，这两电流元在A处产生的磁感应强度方向相反，这两电流元 产生的总酸感应强度 由于所设r远大于线圈的线度，所以≈方≈》，且A点想线圈所引的两条制线几乎平行， 所以上式可近似表示为： 式中的S就是1和？和两割线间所夹的阴影部分面积，因此整个线圈在A点所产生的磁 感应强度可近似表示为
因此在图 1（a）条件下，磁偶极子产生的磁感应强度 第二步，如图 2（a）所示，求在远离磁偶极子 的 处在线圈所在平面上磁感应强度。 由毕奥-萨伐尔定律可知， 和 都在线圈所在的平面上，线圈上任意一电流元 所产生 的 都垂直于线圈所在平面，它的大小 。为分析其几何关系，将 放大、 缩小后画成图 2（b）。由场点 A 向线圈引两条割线，截得两电流元 和 ， 这两电流元在场点 A 处产生的磁感应强度大小分别为： 式中 和 分别表示由 和 及 和 所组成的平行四边形面积 和 。由图 2（b）可以判别，这两电流元在 A 处产生的磁感应强度方向相反，这两电流元 产生的总磁感应强度 由于所设 r 远大于线圈的线度，所以 ，且 A 点想线圈所引的两条割线几乎平行， 所以上式可近似表示为： 式中的 就是 和 和两割线间所夹的阴影部分面积，因此整个线圈在 A 点所产生的磁 感应强度可近似表示为
B--场产 写成矢量形式 43 第三步求与磁偶极子P州成方位角日的产处的磁感应强度B,如图3所示。 由毕奥-萨伐尔定律 xr.len+ax 4m3 4m3 =4a,xF+马画xr 4o3 43 dBu+dB 式中∥和是线圈上电流元©分别在垂直于产的平面上的投影及在广与厂×万：所组成的 平面上的投影。这相当于将磁偶极子产分解成P0=P。c0s8,P4=P:m日，参照第 步和第二步结论，再判别方向后可得 203 4知3 式中P为轻向单位矢量。日为横向单位矢量。 题图1-2(3) 【例143】空间某区域磁感应强度的方向平行与y轴，其量值随x的变化关系如图 所示。试求该区域中的电流密度的量值及方向
写成矢量形式 第三步求与磁偶极子 成方位角 的 处的磁感应强度 ，如图 3 所示。 由毕奥-萨伐尔定律 式中 和 是线圈上电流元 分别在垂直于 的平面上的投影及在 与 所组成的 平面上的投影。这相当于将磁偶极子 分解成 ， ，参照第一 步和第二步结论，再判别方向后可得 式中 为径向单位矢量， 为横向单位矢量。 【例 14-3】空间某区域磁感应强度的方向平行与 y 轴，其量值随 x 的变化关系如图 所示。试求该区域中的电流密度的量值及方向
顺图11-3 题图1136 【解】题图的磁感应图线的函数式 x 2 a B,(x)= Box -a<x<a -Bo x≤a 在xy平面上某一区域的磁感应线如图分布。并在xy平面内作一闭合回路bcd。由安培环 路定理 48d= 即 8(x+△x-B(x1=4J达x 式中」为回路所包围的小区域内沿z方向的传导电流密度的平均值，当4x→0时，即得x 处的传导电流密度的准确值，即： 8(x+△x0-B(_18 Ax Ao dx 所以，在-a<X<a区域内 d8=0 在x之a和x≤a区域在，即无传导电流也就是J=0, 【例14】如图14a图所示，4为垂直于纸面无限长导线中的电流，为纸面内 一段导线中的电流，8为纸面内一段导线的长度，b为两导线间垂直距离。求通有？导线所 受的力
【解】题图的磁感应图线的函数式 在 xy 平面上某一区域的磁感应线如图分布。并在 xy 平面内作一闭合回路 。由安培环 路定理 即 式中 为回路所包围的小区域内沿 z 方向的传导电流密度的平均值，当 时，即得 x 处的传导电流密度的准确值，即： 所以，在 区域内 在 和 区域 ，即无传导电流也就是 。 【例 14-4】如图 14-4a 图所示， 为垂直于纸面无限长导线中的电流， 为纸面内 一段导线中的电流，a 为纸面内一段导线的长度，b 为两导线间垂直距离。求通有 导线所 受的力