第3章机械能和功 9一、功 1、功能的定义式 恒力的功：A=万.可 变力的功：A=∫F护 2、保守力 若某力所作的功仅取决于始末位置而与经历的路径无关，则该力称保守力。或满足下述关系 的力云称保守力： 京，a莎=0 3、几种常见的保守力的功： (1)重力的功：A=州g。一州g, A=-( (2)万有引力的功： r (3)弹性力的功： 4、功 P= 号、势能保守力的功只取决于相对位置的改变而与路径无关。由相对位置决定系统所 具有的能量称之为势能。 1、常见的势能有 (1)重力势能 E,=g的 B.=-G Min (2)万有引力势能 r (3)弹性势能 , 2、势能与保守力的关系 (1)保守力的功等于势能的减少 E-巴，=」万r
第 3 章 机械能和功 一、功 1、功能的定义式： 恒力的功： 变力的功： 2、保守力 若某力所作的功仅取决于始末位置而与经历的路径无关，则该力称保守力。或满足下述关系 的力 称保守力： 3、几种常见的保守力的功： （1）重力的功： （2）万有引力的功： （3）弹性力的功： 4、功率 二、势能保守力的功只取决于相对位置的改变而与路径无关。由相对位置决定系统所 具有的能量称之为势能。 1、常见的势能有 （1）重力势能 （2）万有引力势能 （3）弹性势能 2、势能与保守力的关系 （1）保守力的功等于势能的减少
(2)保守力为势能函数的梯度负值。 ：-%，=-识+7+ (3)势能曲线 势能曲线能很直观地表述一维运动的主要特征，如运动范围，平衡位置，保守力随 位置的变化情况，动能与势能的相互转换等。 号三、动能定寒、功能原建、机械能守恒定件 功可分为：外力的功A、保守内力的功A✉、和非保守内力的功40 1、质点动能定理 A=m-洲u 2、质点系动能定理： 4++-m听 3、功能原理：A+Ag=(但，+区，)-（但0+80） 4、机械能守恒定律：A=0,A如=0时，风，+8，=80+，0
（2）保守力为势能函数的梯度负值。 （3）势能曲线 势能曲线能很直观地表述一维运动的主要特征，如运动范围，平衡位置，保守力随 位置的变化情况，动能与势能的相互转换等。 三、动能定理、功能原理、机械能守恒定律 功可分为：外力的功 、保守内力的功 、和非保守内力的功 1、 质点动能定理： 2、质点系动能定理： 3、功能原理： 4、机械能守恒定律： ， 时
第3章机械能和功 号【例3-1已蜘知三种力如下，月=名7，月=风，月=-（如+刀.式中、 为x、y方向的单位矢量，元为速度方向的单位矢量，只、【为常数。 （1)分别计算这三种力沿任意路径所作的功： (2)判断哪是保守力，哪是非保守力： 【解】)根据题意及功的定义，处理云、瓦力作功取直角坐标，处理瓦力作功取 自然坐标，原点选在运动的开始点，则： A=∫瓦r=∫Ej(dm+j+dz)=∫E.o=Ey A=∫瓦d=∫F元。e元。=∫Es=Ec A,=∫idr=∫K(a+)(d加++d =-可xd+j0=-号(x+y) ②)根据保字力的定义.∫疗示=0 }瓦dr=5Fy=0 克，r=E,s=Rs (s为闭合路径的长度) fF dr=f-k(xdx+ydy)=-k(f xdx+ydy)=0 因此反、瓦为保守力，司为非保守力 【例3-2】轻弹簧AB的上端A固定，下增B悬挂质量为”的重物。已知弹簧原长 ·,劲度系数为水，重物在0点达到平衡，此时弹簧伸长了，如图所示。取不轴向下为 正，且坐标原点位于： (1)弹簧原长位置0'， (2)力的平衡位置。 若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，试分别计算重物在任一位置°时系统的总势 能
第 3 章 机械能和功 【例 3-1】已知三种力如下： ； ； 。式中 、 为 x、y 方向的单位矢量， 为速度方向的单位矢量， 、K 为常数。 （1）分别计算这三种力沿任意路径所作的功； （2）判断哪是保守力，哪是非保守力； 【解】（1）根据题意及功的定义，处理 、 力作功取直角坐标，处理 力作功取 自然坐标，原点选在运动的开始点，则： （2）根据保守力的定义： （s 为闭合路径的长度） 因此 、 为保守力， 为非保守力。 【例 3-2】轻弹簧 AB 的上端 A 固定，下端 B 悬挂质量为 的重物。已知弹簧原长 ，劲度系数为 ，重物在 O 点达到平衡，此时弹簧伸长了 ，如图所示。取 轴向下为 正，且坐标原点位于： （1）弹簧原长位置 ； （2）力的平衡位置 。 若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，试分别计算重物在任一位置 时系统的总势 能
【解】(1)以弹簧原长O点为坐标原点，系统总势能 (2)若以重力与弹性力合力的平衡位置为原点， 则有 g-6=0 4贤 Or 任意位置x处的系统总势能： 耳，-+2-标2-mgx=x+2-mg 丝图3-2 x 由此可知，以重力和弹性力合力的平衡位置为原点为势能的零点，它的总势能与只有 弹性势能的是等效的。这样势能零点的选取，应用在实际问题中就方便多了。 这一结果还可以从另一方面来理解，重力和弹性力都是保守力，它的合力下也应是保 守力，现取重力和弹性力的平衡位置为坐标原点，则合力的大小 F=g-(x0十x)=-x 与单纯只有弹性力一样，因为它的总势能就应 8,= 乡 ，【例33】双原子分子的劳西数可表示为：8宁 式中a、b为正常数，这势函数曲线可如题图3-3阳所示，如果双原子分子的总能量为零。 求：(1)双原子之间的最小距离： (2)双原子之间平衡位置的距离： (3)双原子之间最大引力时的两原子距离： (4)势阱深度Ed: (5)画出与势能曲线相应的原子之间的相互作用力曲线
【解】（1）以弹簧原长 点为坐标原点，系统总势能 （2）若以重力与弹性力合力的平衡位置为原点， 则有 任意位置 x 处的系统总势能： 由此可知，以重力和弹性力合力的平衡位置为原点为势能的零点，它的总势能与只有 弹性势能的是等效的。这样势能零点的选取，应用在实际问题中就方便多了。 这一结果还可以从另一方面来理解，重力和弹性力都是保守力，它的合力 F 也应是保 守力，现取重力和弹性力的平衡位置为坐标原点，则合力的大小 与单纯只有弹性力一样，因为它的总势能就应 【例 3-3】双原子分子的势函数可表示为： 式中 a、b 为正常数，这势函数曲线可如题图 3-3a 所示，如果双原子分子的总能量为零。 求：（1）双原子之间的最小距离； （2）双原子之间平衡位置的距离； （3）双原子之间最大引力时的两原子距离； （4）势阱深度 Ed: （5）画出与势能曲线相应的原子之间的相互作用力曲线
【解】(1)由题意双原子的总能量为零，即 E=E,+E,=0 当动能品，=0时，巴，为最大，两原子之间有最小距离 0= x亚x6 解得： xa=得 (2)平衡位置的条件为F=0。 又有势函数与两原子相互作用力的关系： 邈图33a 可得： (3)最大引力的条件为： d12a66 即：和=0 4想图3-3 ,0 26a 此时两原子相距： x,=7 2a (4)将平衡位置两原子之间的距离 方代入势函数公式，可得势阱深度： E。= a 6 Aa (5)分子之间相互作用的势能曲线可用题图3-3a表示，由保守力与势能系数的关 可知，势能曲线斜率的负值应为保守力的大小。势能曲线上极小植的位置处应有：
【解】（1）由题意双原子的总能量为零，即 当动能 时， 为最大，两原子之间有最小距离 解得： （2）平衡位置的条件为 F=0。 又有势函数与两原子相互作用力的关系： 可得： （3）最大引力的条件为： 即： 此时两原子相距： （4）将平衡位置两原子之间的距离 代入势函数公式，可得势阱深度： （5）分子之间相互作用的势能曲线可用题图 3-3a 表示，由保守力与势能系数的关 系： 可知，势能曲线斜率的负值应为保守力的大小。势能曲线上极小植的位置 处应有：
也就是在位置不处，保守力F为零。 在势能曲线的拐点位置？处应有： dE, 也就是保守力F的最小值的位置，由此可画出图3-b的分子间相互作用力随位置的关系曲线 的大致情况了 号【例3-4】在密度为的液面上方，悬挂一根长为，密度为的均匀棒A8,棒的B 端刚和液面接触如愿图3-4，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在 A<pp 2 的条件下，求细棒下落过程中的最大速度，以及细棒能潜入液体的最大深度 H。 您图3-4 题34b 【解】现在只要求某一状态的情况，采用功能原理解题比较方便。 先求棒B端沉入液面x处浮力F所作的功（设棒的横截面积为s): x<1时： A=-f poxg dx=-po8x' 重力所作的功： A,=洲gx=Pg以 由动能定理得： 耳=A+月，=p,8r-5P8r (1) 要求细棒下沉最大的速度，也是相当于求细棒动能的最大值，我们将上式对不求导，并使等
也就是在位置 处，保守力 F 为零。 在势能曲线的拐点位置 处应有： 也就是保守力 F 的最小值的位置，由此可画出图 3-3b 的分子间相互作用力随位置的关系曲线 的大致情况了 【例 3-4】在密度为 的液面上方，悬挂一根长为 ，密度为 的均匀棒 A B，棒的 B 端刚和液面接触如题图 3-4a，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在 的条件下，求细棒下落过程中的最大速度 ，以及细棒能潜入液体的最大深度 H。 【解】现在只要求某一状态的情况，采用功能原理解题比较方便。 先求棒 B 端沉入液面 处浮力 F 所作的功（设棒的横截面积为 s）： 时： 重力所作的功： 由动能定理得： （1） 要求细棒下沉最大的速度 也是相当于求细棒动能的最大值，我们将上式对 求导，并使等 于
8-A8x=0 dE (2) x=凸 解得 P 时细棒有最大动能。将此式代入(1)式可得细棒最大速度儿，。 0 (e21.8 P:1，即：乃一乃三>/ 解得。之令，这也状是题目所规定的条作。在<之成的说，请读者自园 考虑。) 夕【例3-6】若在近似圈形轨道上运行的卫星受到尘埃的徽弱空气阻力的作用，设阻力 与速度的大小成正比，比例系数为常数，即=-心，试求质量为的卫星，开始在离地 心'=4伏(8为地球半径)闕落到地面所需的时间。 【解】卫星运行时间内，阻力所作的功 dA,=-kuds =-ku'dt (1) 卫星在运行轨道”处它的向心力是万有引力提供的：
零。 （2） 解得 时细棒有最大动能。将此式代入（1）式可得细棒最大速度 。 即： 得： （2）式告诉我们，当细棒的重力等于浮力时，棒在 处已达到最大速度了，当细棒继 续下沉时，向上的浮力大于重力，速度将不断变小，当棒沉到最深位置 H 处，棒的速度为零， 也就是重力所作的功与浮力所作的功正好抵消的位置，我们可以列出方程： 上式中我们应注意到棒全部没入液体已为恒力。 解得： 由此式可知棒要全部没入液体中的条件为： ，即： 解得： ，这也就是题目所规定的条件。（在 或 的情况，请读者自己 考虑。） 【例 3-5】若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力 的作用，设阻力 与速度的大小成正比，比例系数 为常数，即 ，试求质量为 的卫星，开始在离地 心 （ 为地球半径）陨落到地面所需的时间。 【解】卫星运行 时间内，阻力 所作的功 （1） 卫星在运行轨道 处它的向心力是万有引力提供的：
(2 ) 由此可得卫星的动能： 2r 而卫星的势能： 可得卫星在运行轨道”处的总机械能： 8=4+鸟-o-0-G恤 (3) 由功能原理 叫，=B=d-o=0 将(2)式代入上式 (4) 比较(1)、(4)式得 R 积分得：
（2 ） 由此可得卫星的动能： 而卫星的势能： 可得卫星在运行轨道 处的总机械能： （3） 由功能原理 将（2）式代入上式 （4） 比较（1）、（4）式得： 得 积分得：
第3章机械能和功 3.1如图所示，一质点在几个力作用下沿半径R=20的圆周运动，其中有一 恒力京=06()，求质点从A开始沿逆时针方向经4圆周到达B的过程中，力云所做的 功。 道3.2图 号2质量为：的小球系于绳的一，笔长为，上瑞A时定，如图所示。今设水平 变力作用在该小球上，使小球极其缓慢地移动，即在所有位置上均近似处于力平衡状态， 直到绳子 与竖直方向成日角， (1)试用变力作功方法计算力云力的功： (2)计算重力所做的功。 3.5一质点在外力 =2 ”(试中a为常量)作用下由 a点运动到的点，如图所示。 (1)求在此过程中外力了所做的功： (2)判断外力了是否为保守力？ 号3.6地球质量为。半径为。 一质点质量为m,处于距地心=3R处。求质点地 球系统在此相对位置时的引力势能： (1)取无穷远处为势能零点参考位置： (2)取地球表面为势能零点参考位置
第 3 章 机械能和功 3.1 如图所示，一质点在几个力作用下沿半径 的圆周运动，其中有一 恒力 ，求质点从 A 开始沿逆时针方向经 圆周到达 B 的过程中，力 所做的 功。 3.2 质量为 m 的小球系于绳的一端，绳长为 ，上端 A 固定，如图所示。今设水平 变力 作用在该小球上，使小球极其缓慢地移动，即在所有位置上均近似处于力平衡状态， 直到绳子 与竖直方向成 角， （1）试用变力作功方法计算力 力的功； （2）计算重力所做的功。 3.5 一质点在外力 （试中 为常量）作用下由 点运动到 点，如图所示。 （1）求在此过程中外力 所做的功； （2）判断外力 是否为保守力? 3.6 地球质量为 M，半径为 R，一质点质量为 m，处于距地心 处。求质点地 球系统在此相对位置时的引力势能： （1）取无穷远处为势能零点参考位置； （2）取地球表面为势能零点参考位置
号3.8一粒子沿x轴运动，其势能品，)的函数曲 线如图所示。若该粒子所具有的总能量=0，试分析： (1)该粒子的运动范围： (2)粒子的平衡位置： (3)粒子在2处的动能： (4)粒子受到最大力的位置。 题3.8图 号12在知图所示装置中，定滑轮高度为=2州，重物质最=508，拉力 F=2562N,方向竖直向下，若不计滑轮与轴承间摩擦和重物与地面间的摩擦，将重物自静 止开始从位置1a=30)拉到位置,=45)时的速度。 7 题3.2图 题3.1图 。1资长正好等于圆环半径，弹簧下基挂一质量为：的重环，当弹黄的 总长1=2R时重环正好达到平衡状态。现将弹簧的一端系于竖直放置的圆环上端A点，将重 环套在光滑圆环上，AB长为16R,重环在B点由静止释放沿圆环滑动，如图所示。试求： 重环滑到最低点C处时的加速度以及对圆环的压力。 号3.19质量为口的卫星，沿圆轨道绕地球运行。地球的质量为。半径为。试求： (1)要使卫星进入”=2R的圆轨道，其发射速度至少应多大？ (2)要使卫星飞离地球至无穷远处，至少应做多少？ 号0在一幸径为R=20×10m的显球表面（无大气层）)，若以的=108的 速度竖直上抛一物体，则该物体上升的最大高度为为=8州，试问：该星球的谜逸速度（即 脱离该星球的最小速度)为多大？
3.8 一粒子沿 x 轴运动，其势能 的函数曲 线如图所示。若该粒子所具有的总能量 ，试分析： （1）该粒子的运动范围； （2）粒子的平衡位置； （3）粒子在 处的动能； （4）粒子受到最大力的位置。 3.12 在如图所示装置中，定滑轮高度为 ，重物质量 ，拉力 ，方向竖直向下，若不计滑轮与轴承间摩擦和重物与地面间的摩擦，将重物自静 止开始从位置Ⅰ 拉到位置Ⅱ 时的速度。 3.17 弹簧原长 正好等于圆环半径 R，弹簧下悬挂一质量为 m 的重环，当弹簧的 总长 时重环正好达到平衡状态。现将弹簧的一端系于竖直放置的圆环上端 A 点，将重 环套在光滑圆环上，AB 长为 ，重环在 B 点由静止释放沿圆环滑动，如图所示。试求： 重环滑到最低点 C 处时的加速度以及对圆环的压力。 3.19 质量为 m 的卫星，沿圆轨道绕地球运行。地球的质量为 M，半径为 R，试求： （1）要使卫星进入 的圆轨道，其发射速度至少应多大? （2）要使卫星飞离地球至无穷远处，至少应做多少功? 3.20 在一半径为 的星球表面（无大气层），若以 的 速度竖直上抛一物体，则该物体上升的最大高度为 ，试问：该星球的逃逸速度（即 脱离该星球的最小速度）为多大?