第22章量子力学基础 夕一、德布罗意物质波 德布罗意认为不仅光具有波粒二象性，实物粒子也具有波粒二象性。描述实物粒子波函数中 的Y、元与实物粒子的能量E和动量D的德布罗意关系： =hv 戴维孙一革末电子衍射实验，约恩孙电子双缝干涉实验都证实了电子具有的波动性。 夕二、海森伯不确定关系 由于微观粒子具有波粒二象性，我们就无法同时精确地测定微观粒子坐标与动量，海森伯提 出了如下的不确定关系： 1、动量-坐标不确定关系 x,≥为 bybp,2h △2.22 2、时间-能量不确定关系 △E-At2h 号三、被数y2 微观粒子具有波粒二象性，它不同于经典的波也不同于经典的粒子，要描述微观粒子群体随 时间的变化，引入波函数。波函数确定后，微观粒子的波粒二象性就能得到准确的描述。波 函数是微观粒子的态函数。 1、波函数的物理意义： 某一时刻在空间某一位置粒子出现的几率正比于该时刻该位置波函数的平方，或 gv=,即 几率密度 p(x.y.2.t)=(x.y.2.) 2、波函数的归一化条件 ∬°w=1 3、波函数的标准条件，单值有限连续。 夕四、薛定语方程
第 22 章 量子力学基础 一、德布罗意物质波 德布罗意认为不仅光具有波粒二象性，实物粒子也具有波粒二象性。描述实物粒子波函数中 的 、 与实物粒子的能量 E 和动量 p 的德布罗意关系： 戴维孙-革末电子衍射实验，约恩孙电子双缝干涉实验都证实了电子具有的波动性。 二、海森伯不确定关系 由于微观粒子具有波粒二象性，我们就无法同时精确地测定微观粒子坐标与动量，海森伯提 出了如下的不确定关系： 1、动量-坐标不确定关系 2、时间-能量不确定关系 三、波函数 微观粒子具有波粒二象性，它不同于经典的波也不同于经典的粒子，要描述微观粒子群体随 时间的变化，引入波函数。波函数确定后，微观粒子的波粒二象性就能得到准确的描述。波 函数是微观粒子的态函数。 1、波函数的物理意义： 某一时刻在空间某一位置粒子出现的几率正比于该时刻该位置波函数的平方，或 ，即 几率密度 2、波函数的归一化条件 3、波函数的标准条件，单值有限连续。 四、薛定谔方程
薛定谔方程是量子力学的基础方程，由它可解出粒子的波函数 1、自由粒子： =2m a=e 22 2m V 2、势场中粒子： *非定态： 式中 ,为哈密顿算符。 定态：Aw)=Ew 夕五、薛定得方程应用实例 1、一维势箱：金属中电子、原子核中质子势能分布的理想化模型。它的势函数 00<x<(阱内) ()=。x≤0减x2L(阱外) 阱内一维定态薛定谔方程 h2dw =Ew 2d次2 x 解得满足边界条件（标准条件）归一化条件的解的波函数 v国是受 能量
薛定谔方程是量子力学的基础方程，由它可解出粒子的波函数 1、自由粒子： ， ， 2、势场中粒子： *非定态： 式中 ，为哈密顿算符。 定态： 五、薛定谔方程应用实例 1、一维势箱：金属中电子、原子核中质子势能分布的理想化模型。它的势函数 阱内一维定态薛定谔方程 解得满足边界条件（标准条件）归一化条件的解的波函数 能量
当n=l时为基态能量 区=8正，也叫零点能· 相应各量子数口的波函数因，几率密度加（和能级分布如图： 1Ψ AAAA 16 2、一维势垒： 半导体中pn结处电子和空穴势能分布的简化模型。 3、隧道效应： 粒子越过或穿透高于其总能量的势垒。 4、原子、分子运动的量子化特征： 原子振动能量： ,=0+2hm 鸟=0+1产 分子转动能力： 2mr2 5、电子角动量： 轨道角动量：=+，2=，方 自能角动量，8=58+D有=方品，=±力 6、氢原子的定态 氢原子中电子的定态薛定调方程 7v.8可4 r(r,日，p)=Ewr,8, 2m 解出来的波函数，日，满足有限单值连续的标准条件可得下表中的四个量子数
当 n=1 时为基态能量 ，也叫零点能。 相应各量子数 n 的波函数 ，几率密度 和能级分布如图： 2、一维势垒： 半导体中 p-n 结处电子和空穴势能分布的简化模型。 3、隧道效应： 粒子越过或穿透高于其总能量的势垒。 4、原子、分子运动的量子化特征： 原子振动能量： 分子转动能力： 5、电子角动量： 轨道角动量： ， 自旋角动量： ， 6、氢原子的定态： 氢原子中电子的定态薛定谔方程 解出来的波函数 满足有限单值连续的标准条件可得下表中的四个量子数
9 四个量子数表征氢原子中电子状态的特征，如表所列： 名称 可取数值 住要作用 主量子数n 正整数 确定电子能量的主要部分 1,2,3… =8 角量子数 在n给定以后，{可取n个确定电子的角动量 值，即0,1,2…(-1) L=2+1 相应常用s、D、d、f表示 磁量子数州 在！给定以后，可取2+1或确定角动量在外磁场方向的投影 2+1个值，即0，士1， L:=mgh ±2 自旋量子数， 只取两个值， 的定电子的自旋角对银5， 2沿 区恤能 原子中不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的量子态，或者说一个原子中任何两个 电子不可能具完全相同的四个量子数。 3、能量最小原理 原子系统中每个电子趋向占有最低能级，当原子系统的总能量为最小时原子最稳定。 夕大、多电子限 1、四个量子数 ,1,%, 2、泡利不相容原理 号七、经典粒子和徽观粒子描述比较 经典粒子 微观粒子 状态描述 r()p) w《,),一组量子数 运动图象 确定的动量、位置和轨迹 确定的几率分布
四个量子数表征氢原子中电子状态的特征，如表所列： 名称 可取数值 主要作用 主量子数 n 正整数 1，2，3…… 确定电子能量的主要部分 角量子数 在 n 给定以后， 可取 n 个 值，即 0，1，2……（n-1） 相应常用 s、p、d、f 表示 确定电子的角动量 磁量子数 在 给定以后，可取 或 个值，即 0， ， …… 确定角动量在外磁场方向的投影 自旋量子数 只取两个值， 确定电子的自旋角动量 沿 某一方向上的投影 原子中不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的量子态，或者说一个原子中任何两个 电子不可能具完全相同的四个量子数。 3、能量最小原理 原子系统中每个电子趋向占有最低能级，当原子系统的总能量为最小时原子最稳定。 六、多电子原子 1、四个量子数 2、泡利不相容原理 七、经典粒子和微观粒子描述比较 经典粒子 微观粒子 状态描述 ， ，一组量子数 运动图象 确定的动量、位置和轨迹 确定的几率分布
基础规律 F=dm可 薛定谔方程 牛顿定律 粒子状态 取决于力函数P,) 取决于势能函数(，) 力学量特征 连续变化 本征量量子化，非本征量不确 号固休量子理论基础 一、品体 分子、原子按一定的周期性作规则排列的固体称为品体。 1、按结合键分：离子晶体、共价品体、分子晶体、金属晶体、氢键晶体。 2、按导电性分：导体、半导体、绝缘体。 二、电子波函数 1、周期性势场：(x+=x) 久、布洛赫波函数：w(四=e业4()，6+)= 三、电子的能态 1、能带：N个相近能级组成，对应原子能级。 2、禁带：能带之间的禁区，电子不可能具有禁区能量。 四、电子运动 人速度， 2、加速度： m=2马1 3、有效质量： 3 五、半导体 1、本征导电性 2、杂质导电性：n型半导体、p型半导体 六、超导BCS理论
基础规律 牛顿定律 薛定谔方程 粒子状态 取决于力函数 取决于势能函数 力学量特征 连续变化 本征量量子化，非本征量不确 定 固体量子理论基础 一、晶体 分子、原子按一定的周期性作规则排列的固体称为晶体。 1、按结合键分：离子晶体、共价晶体、分子晶体、金属晶体、氢键晶体。 2、按导电性分：导体、半导体、绝缘体。 二、电子波函数 1、周期性势场： 2、布洛赫波函数： ， 三、电子的能态 1、能带：N 个相近能级组成，对应原子能级。 2、禁带：能带之间的禁区，电子不可能具有禁区能量。 四、电子运动 1、速度： 2、加速度： 3、有效质量： 五、半导体 1、本征导电性。 2、杂质导电性：n 型半导体、p 型半导体。 六、超导 BCS 理论
第22章量子力学基础 号【例2-1】原子从某一激发态跃迁到基态，发射出中心波长为，谱线宽度2的光 子，试估算： (1)此光子的动量不确定度2 (2)此光子的位置不确定度x, (3)原子处在激发态的寿命 (4)该激发态的能量宽度 【解】(1)光子的动量 光子动量的不确定度 外受 (2)由不确定关系 △xA222 得光子位置的不确定度 p△元 (3)原子在激发态的寿命 t==42 cc AA (4)激发态的能量宽度△E可由不确定关系 △8△：2h来估算得 号【例2-2】试用下列3种方法计算宽为。的无限深一维势阱中质量为▣的粒子的最小能 量（零点能）： (1)德布罗意波的驻波条件， (2)不确定关系式： (3)薛定谭方程。 【解】(1)要达到稳定状态，德布罗意波在势阱中应形成驻波，能量最小时驻波的波长为 2 p= 2a,该势阱中粒子的动量 822 2 相应的能量 2m 8ma (2)由测不准关系△x=a
第 22 章 量子力学基础 【例 22-1】原子从某一激发态跃迁到基态，发射出中心波长为 ，谱线宽度 的光 子，试估算： （1）此光子的动量不确定度 ； （2）此光子的位置不确定度 ； （3）原子处在激发态的寿命 ； （4）该激发态的能量宽度 。 【解】（1）光子的动量 光子动量的不确定度 （2）由不确定关系 得光子位置的不确定度 （3）原子在激发态的寿命 （4）激发态的能量宽度 可由不确定关系 来估算得 【例 22-2】试用下列 3 种方法计算宽为 a 的无限深一维势阱中质量为 m 的粒子的最小能 量（零点能）： （1）德布罗意波的驻波条件； （2）不确定关系式； （3）薛定谔方程。 【解】（1）要达到稳定状态，德布罗意波在势阱中应形成驻波，能量最小时驻波的波长为 2a，该势阱中粒子的动量 相应的能量 （2）由测不准关系
取粒子的动量p与动量的测不准量4P为同一数量级，即卫~△p E=p、4p2 得粒子的能量 (3)根据薛定谔方程求解 2m dx 即 0 28E=k2 令 +v=0 原方程可写成：众 方程的解为：w()=Acos(x+) 由边界条件 x=0 w(0)=0 得： X=a w(a)=0 得：Xa= 2=2m 由此得 4,又因为上面已令 为2 8-e222 得 3 最小时n1得 号【例2-3】氢原子处于2印态，当它在外磁场5中，考忠到锁道磁矩与外磁场的相互作 用，讨论该状态的能级分裂情况，并计算跃迁发出光子的频率。 【解】氢原子处在外磁场中，由于空间量子化，电子轨道角动量相对外磁场方向有各种可能的 取向，电子轨道磁矩也有相应的不同取向，导致氢原子与外磁场之间不同的相互作用势能，使 氢原子电子轨道磁矩 电子磁矩与外磁场相互作用能 2
取粒子的动量 p 与动量的测不准量 为同一数量级，即 得粒子的能量 （3）根据薛定谔方程求解 即 令 ， 原方程可写成： 方程的解为： 由边界条件 得： 得： 由此得 ，又因为上面已令 因此 得 最小时 n=1 得 【例 22-3】氢原子处于 2p 态，当它在外磁场 中，考虑到轨道磁矩与外磁场的相互作 用，讨论该状态的能级分裂情况，并计算跃迁发出光子的频率。 【解】氢原子处在外磁场中，由于空间量子化，电子轨道角动量相对外磁场方向有各种可能的 取向，电子轨道磁矩也有相应的不同取向，导致氢原子与外磁场之间不同的相互作用势能，使 氢原子电子轨道磁矩 电子磁矩与外磁场相互作用能
m的可能取值有2+1个，磁矩与外磁场相互作用能也出现2☒+1个可能值。 对应于氢原子2印态与外磁场的相互作用能有三个不同值，分别为=1：%=0，用=0， 2m。1s能级不变化，2印能级分裂为三个能级，相邻之间能级的能量差 8== 为 2m 原先由2印跃迁至1s的一条谱线分裂成为三条谱线，如图22-3所示。 其频率分别为： 原频 =V- eB 480 =+ eB 2p. 上-W v++ hv t→hv 个+hv 迈图223 夕【例22-4】一维无限深阱中有10个电子，电子质量为，势阱宽度为。若忽略电子间 的相互作用，应用量子物理的基本原理计算系统处于最低能量时，势阱中电子的最大能量。 【解】本题讨论一维无限深势阱中的电子排布。电子波在无限深势中传 播，由于两势阱壁的反射，形成稳定的驻波，类同与例22-2(1)，可导 出在势阱中电子能量 2m8z2 3E 处于势阱中电子的状态是由电子的能态和电子的自旋态决定的。根据泡利半 不相容原理，每个能级上只能有自旋方向相反的两个电子，所以系统处于-？千专 最低能量时，势阱中10个电子由最低能级开始依次逐级充填，如图所=十E, 示。显然，势阱中最大能量电子的量子数n=5,得： 8识黑 趣图221
的可能取值有 个，磁矩与外磁场相互作用能也出现 个可能值。 对应于氢原子 2p 态与外磁场的相互作用能有三个不同值，分别为 ； ， ， ， 。1s 能级不变化，2p 能级分裂为三个能级，相邻之间能级的能量差 为 。 原先由 2p 跃迁至 1s 的一条谱线分裂成为三条谱线，如图 22-3 所示。 其频率分别为： 原频 率 【例 22-4】一维无限深阱中有 10 个电子，电子质量为 m，势阱宽度为 。若忽略电子间 的相互作用，应用量子物理的基本原理计算系统处于最低能量时，势阱中电子的最大能量。 【解】本题讨论一维无限深势阱中的电子排布。电子波在无限深势中传 播，由于两势阱壁的反射，形成稳定的驻波，类同与例 22-2（1），可导 出在势阱中电子能量 处于势阱中电子的状态是由电子的能态和电子的自旋态决定的。根据泡利 不相容原理，每个能级上只能有自旋方向相反的两个电子，所以系统处于 最低能量时，势阱中 10 个电子由最低能级开始依次逐级充填，如图所 示。显然，势阱中最大能量电子的量子数 n=5，得：
号【例22-5】如图2-5a所示为筒化的金属表面附近的电子势能曲线和电子能级图。若在 垂直金属表面方向上加一匀强电场，指向金属表面，使金属中的自由电子向外逃逸。 (1)画出电子在外电场中的总势能曲线： (2)试从量子力学效应定性解释电子从金属中逃逸的原因。 X g父 想生22胶 题图2-3 【解】（1外加场沿x负方向，豆=一8，电子在外电场的电势能=-x,由此可 画出电子在外电场中的势能曲线及电子在外电场中的金属表面处的总势能曲线图22-b。 (2)加上外电场后，原无限宽势能曲线变为变有限宽的势垒，根据量子力学隧道效应，电子 将穿过势垒逃逸金属 号【例2-6】21c谱线是由银河系中氢原子发射的，它对应于电子的自旋从平行于氢原 子中质子自旋方向一下子变为反平行方向时的能量变化。试计算质子所产生的磁场。 【解】电子自旋磁矩 , 设质子产生的磁场为8，自旋磁矩与磁场的相互作用能 用=-应B=m,B 1 自旋方向从与8平行变为与B反平行，%，从2变为2，则能量的变化为 题意中表明银河系中氢原子发射的谱线波长乙=21m,可知 W=v=为发
【例 22-5】如图 22-5a 所示为简化的金属表面附近的电子势能曲线和电子能级图。若在 垂直金属表面方向上加一匀强电场，指向金属表面，使金属中的自由电子向外逃逸。 （1）画出电子在外电场中的总势能曲线； （2）试从量子力学效应定性解释电子从金属中逃逸的原因。 【解】（1）外加磁场沿 x 负方向， ，电子在外电场的电势能 ，由此可 画出电子在外电场中的势能曲线及电子在外电场中的金属表面处的总势能曲线图 22-5b。 （2）加上外电场后，原无限宽势能曲线变为变有限宽的势垒，根据量子力学隧道效应，电子 将穿过势垒逃逸金属 【例 22-6】21cm 谱线是由银河系中氢原子发射的，它对应于电子的自旋从平行于氢原 子中质子自旋方向一下子变为反平行方向时的能量变化。试计算质子所产生的磁场。 【解】电子自旋磁矩 设质子产生的磁场为 ，自旋磁矩与磁场的相互作用能 自旋方向从与 平行变为与 反平行， 从 变为 ，则能量的变化为 题意中表明银河系中氢原子发射的谱线波长 ，可知
解上两式： 品 8=2%23149110×3x10-511027 得： 1.6×10-×21×107 号【例2-7】一个0分子，它的两个原子沿着它们的中心连线相对质心作一维报动。已 知键合的劲度系数=187N/m,C和0的质量分别为e=199×100g， m0=266×100g.试计算： (1)相对振动的频率： (2)相邻两个振动能级的间距。 Xc Xo 图227 【解】(1)设C0分子中C与0原子间距为，系统在振动过程中C、0的坐标分别为c和 x0,如图22-7所示。 d2xo 据牛顿定律 (1) Fe=me t 色 C和0之间的健合作用力 F。=-F。=-k(x。-xe-)=-k5 式中5为C、0对平衡位置的相对位移。将(1)、(2)式改写成 (3 mo (4) (4)式减(3)式改写成为： d25 ko+匹6 因此，谐振动圆频率 =,km。+m色)=
解上两式： 得： 【例 22-7】一个 CO 分子，它的两个原子沿着它们的中心连线相对质心作一维振动。已 知键合的劲度系数 ，C 和 O 的质量分别为 ， 。试计算： （1）相对振动的频率； （2）相邻两个振动能级的间距。 【解】（1）设 CO 分子中 C 与 O 原子间距为 ，系统在振动过程中 C、O 的坐标分别为 和 ，如图 22-7 所示。 据牛顿定律 （1） （2） C 和 O 之间的键合作用力 式中 为 C、O 对平衡位置的相对位移。将（1）、（2）式改写成 （3） （4） （4）式减（3）式改写成为： 因此，谐振动圆频率
