第4章动量和角动量 一、动量定理 1、动量 和2 均为描述机械运动的状态量，但两者有重要区别：6m)是物体之间传递机 械运动的量度： 6(5mu) 是物体的机械运动形式与其他运动形式相互转换的一种量度。 2、冲量：冲量是力对时间的累积，导致机械运动的传递。 7【a恒力 7=日： 冲击力1= 3、动量定理： 质点，「动=加i-m吗=-元 质点系： ∑d=∑%店-工%=产-列 5 二、动量守恒定律 =0=P 3=0p=P ∑月=0，方= 矢量式： 分量式： 8=0= 利用某一方向上的动量守恒分量式常可简捷地解决力学问题。 夕三、范推同器 满足动量守恒定律：洲巧+洲可2=洲0+洲心20 满足牛顿规则（沿碰撞方向）：凸-4=0-0)。 「e=0,完全非弹性碰撞； ee=1,弹性碰撞； 恢复系数 0<e<1,非弹性碰撞。 日、火餐飞行同
第 4 章 动量和角动量 一、动量定理 1、动量 和 均为描述机械运动的状态量，但两者有重要区别： 是物体之间传递机 械运动的量度； 是物体的机械运动形式与其他运动形式相互转换的一种量度。 2、冲量：冲量是力对时间的累积，导致机械运动的传递。 3、动量定理： 质点： 。 质点系： 二、动量守恒定律 矢量式： ； 分量式： 利用某一方向上的动量守恒分量式常可简捷地解决力学问题。 三、碰撞问题 满足动量守恒定律： 满足牛顿规则（沿碰撞方向）； 。 恢复系数 四、火箭飞行问题
箭体运动方程： =加空 d。 火箭飞行速度：U=4h(从，从) 号五、质心，质心是质点系中运功特滴单，能代表质点系整体运动的箱殊点。 1、质心位置 元=∑m元1M 2、质点系动量 %马= 3、质心运动定理 ∑R=Mg=版 公月=0，“=恒矢量 步 六、质点角动量及其规律 1、角动量：角动量是与各质点动量和参考点位置有关的状态量。 (1)质点：艺=广×州心. 乙=∑店×洲店 (2)质点系： 2、角动量规律 =rx京- (1)转动动力学方程： (2)角动量定理：∫=1-乙， (3)角动量守恒定律：亚=0，乙=乙】
箭体运动方程： 。 火箭飞行速度： 五、质心：质心是质点系中运动特别简单，能代表质点系整体运动的特殊点。 1、质心位置 或 。 2、质点系动量 3、质心运动定理 六、质点角动量及其规律 1、角动量： 角动量是与各质点动量和参考点位置有关的状态量。 （1）质点： 。 （2）质点系： 2、角动量规律 （1）转动动力学方程： 。 （2）角动量定理： （3）角动量守恒定律：
第4章动量和角动量 【例4-1】如题图4-1a所示，斜面长5米，高3米，斜面的下端与一水平面相接，一 物块从斜面上端由静止开始下滑，物块与斜面及平面的廉擦系数均为“，(“=03)，求物 块从斜面顶端由静止开始下滑，滑到平面上后还能在平面上滑行多长距离？（尽取10 mis') 【解】设物块滑到斜面下端的速度大小为，根据功能原理 一gc08=7mu-mg 得4=2g-2g/c0s6=V2×10x3-2×0.3x10x5x08=6m16 mg 题图1-1) 因M-1h 这里应注意的是马的方向是沿着斜面的，当物块通过转角处，速度变为水平方向，物体的动 量发生了改变，则必定受到外力的冲量。 参阅题图4-1b。在垂直方向('方向)应用动量原理： ∫(aW-wg)=0-(←mysm) 由于物体通过转角处的时间很短，物体与水平面碰撞瞬间的正压力N>洲g,上式可写成： 2at=n心sm日 (1) 再在水平方向(x方向)上应用动量原理： -=m心2-mcos日 (2) 由于了=W所以 -ft=-Wt=-simn日 (3) 比较(2)、(3)式得： -m日=m2-m4cos日 由此解得，得通过转角后，物块在水平面上开始运动的速度
第 4 章 动量和角动量 【例 4-1】如题图 4-1a 所示，斜面长 5 米，高 3 米，斜面的下端与一水平面相接，一 物块从斜面上端由静止开始下滑，物块与斜面及平面的摩擦系数均为 ，（ ）。求物 块从斜面顶端由静止开始下滑，滑到平面上后还能在平面上滑行多长距离？（ 取 10 ） 【解】设物块滑到斜面下端的速度大小为 ，根据功能原理 得 这里应注意的是 的方向是沿着斜面的，当物块通过转角处，速度变为水平方向，物体的动 量发生了改变，则必定受到外力的冲量。 参阅题图 4-1b。在垂直方向（ 方向）应用动量原理： 由于物体通过转角处的时间很短，物体与水平面碰撞瞬间的正压力 ，上式可写成： （1） 再在水平方向（ 方向）上应用动量原理： （2） 由于 所以 （3） 比较（2）、（3）式得： 由此解得，得通过转角后，物块在水平面上开始运动的速度
2=1(cos日-asim=60.8-03×06)=3.72m1s 物块还能在水平面上滑行的距离$，仍可用动能定理 3722 得 2g2×03x10=23 号【例2】光清的A玻精弹子直径=2显米，以速美=1米带的速支与月原来 静止的完全相同的B玻璃弹子相撞，如题图a所示。运动弹子质心速度为的方向偏离静止 弹子球心距离之=12厘米，两弹子间的恢复系数=05，求碰撞后两弹子各速度为多少？ 物图1-2 【解】取两弹子碰撞瞬时球心的连线方向为x轴，垂直于连心线的方向为》轴。（见题图b) 由题意玻璃弹子光滑，所以两弹子在》方向上的相互作用力为零，A玻璃弹子在》方向上的速 度保持不变： b 米/秒 在不方向上，系统合外力为零，动量守恒： 为Ua十洲U=渊.=U。COs@ d°-b a+U=cosa=. d =1212 =08 2 米/秒 (1) e-UR-Ug 又有恢复系数定义得： DA.-U8 由题意知，，=0，=05上式可改写为 4-=euco8=05×0,8=04米/ (2)
物块还能在水平面上滑行的距离 ，仍可用动能定理 得 【例 4-2】光滑的 A 玻璃弹子直径 厘米，以速度 米/秒的速度与另一原来 静止的完全相同的 B 玻璃弹子相撞，如题图 a 所示。运动弹子质心速度为 的方向偏离静止 弹子球心距离 厘米，两弹子间的恢复系数 ，求碰撞后两弹子各速度为多少？ 【解】取两弹子碰撞瞬时球心的连线方向为 轴，垂直于连心线的方向为 轴。（见题图 b） 由题意玻璃弹子光滑，所以两弹子在 方向上的相互作用力为零，A 玻璃弹子在 方向上的速 度保持不变： 米/秒 在 方向上，系统合外力为零，动量守恒： 即： 米/秒 （1） 又有恢复系数定义得： 由题意知， ， 上式可改写为： 米/ 秒 （2）
解(1)、(2)式得： =0.2米/秒： v=0.6米/秒。 由此知两球碰撞后的速度分别为： 西4=(02+0.6米/秒 立影=06行米/秒 9 【例4-3】试计算半径为R,顶角为的匀质扇形板的质心位置。 【解】我们先把大扇形分割成很多△口很小的顶角相同的小扇形，顶角很小的扇形就非常接近 于三角形，三角形的质心位于中线的3位置上，当顶角△趋向于零时，各扇形的质心位于就 分布在三不的圆上，因此我们求速扇形的质心只要求半轻了，来相为公的匀质可 r=-R 弧的质心即可。设这圆弧单位长度的质量为。 x dm=rcose Arde=ar'cose de 根据质心计算公式： [a2cosaie = = r.2a 作为特例，如要计算匀质半圆薄板的质心，只需将2=2，代入上式 可： 越1-3图 2 4R 号【例】质蛋为业的人手里本着质蛋为▣的物体，此人用与地平镜彩的惠雀 向前跳去，当他到达最高点时，把物体以相对于自己以速度u向后抛出，问由于物体的抛 出，他跳过的距离与不抛物体时相比可增加多少？
解（1）、（2）式得： 米/秒； 米/秒。 由此知两球碰撞后的速度分别为： 米/秒 米/秒 【例 4-3】试计算半径为 R，顶角为 的匀质扇形板的质心位置。 【解】我们先把大扇形分割成很多 很小的顶角相同的小扇形，顶角很小的扇形就非常接近 于三角形，三角形的质心位于中线的 位置上，当顶角 趋向于零时，各扇形的质心位于就 分布在 的圆弧上，因此我们求该扇形的质心只要求半径 ，张角为 的匀质圆 弧的质心即可。设这圆弧单位长度的质量为 。 根据质心计算公式： 作为特例，如要计算匀质半圆薄板的质心，只需将 ，代入上式即 可： 【例 4-4】质量为 M 的人，手里拿着质量为 m 的物体，此人用与地平线成 的速度 向前跳去，当他到达最高点时，把物体以相对于自己以速度 u 向后抛出，问由于物体的抛 出，他跳过的距离与不抛物体时相比可增加多少？
【解】方法一，如题图4-4a,取地面坐标系，用动量守 恒定律求解： 人不向后抛出物体，所能跳过的距离： 式中T为人跳离地面的时间。 由： y=4Tma-587=0 T=20o sin 解得： (T=0删去》 可得： R-2 sin a cosam 2 .-1 人在最高点以相对于自己u的速度向后抛出物体的过程"T 中，参阅题图a,应用动量守恒原理。 MV+m(v-u)=(m+M)vo cosa 可得人以相对于自己u的速度向后抛出物体后人的速 度 V=D.cosa+m+证 4 见1业 可见人比不抛出物体时速度乌co:口增加了速 度： AV=m+M 因此人在抛出物体后多跳过的距离： AR=AV I=Av.I mu to sin c 2洲+Mg 方法二，质心坐标系中应用动量守恒定律： 2U+2W=0 V-v=u V= 可得： 厂物+M 1=to sin a 在下落时间 名过程中，人相对于质心运动的距离，即为人比不抛出物体多跳过的距
【解】方法一，如题图 4-4a，取地面坐标系，用动量守 恒定律求解： 人不向后抛出物体，所能跳过的距离： 式中 T 为人跳离地面的时间。 由： 解得： （ 删去） 可得： 人在最高点以相对于自己 u 的速度向后抛出物体的过程 中，参阅题图 a，应用动量守恒原理。 可得人以相对于自己 u 的速度向后抛出物体后人的速 度： 可见人比不抛出物体时速度 增加了速 度： 因此人在抛出物体后多跳过的距离： 方法二，质心坐标系中应用动量守恒定律： 可得： 在下落时间 过程中，人相对于质心运动的距离，即为人比不抛出物体多跳过的距
离： △R=V=m+Mg mu o sin c 方法三，应用质心运动定律求解： 由于内力不改变质心原来运动的轨迹，由在质心C落地位置为人不抛出物体时原来落地位置 现人以相对于自己速度u抛出物体m时，在下落时间过程中，人M与物体m之间的距离： 1=ut=u.tosma g 由质心位置公式知，质量为M的人离质心距离为： △R=1 2224U.gn2 m+M (6+g 号【例46如至所示，一质量为的的质储条，长为手持其上汽下确桌面费 触。现使链条自静止释成落于桌面，试从下述三种不同的规律出发，计算链条下落距离时桌 面对链条的作用力： (1)动量规律； (2)质心运动规律： (3)变质量动力学规律： 【解】这是一个连续分布的柔性质点系，可以选择不同的部分作为研究对象，也可以从不同的 角度求解。 7777777777717777777 题图4-5a 题图4-5b 题图4-5c 方法一，运用动量规律求解。取如图b坐标。设时刻下落至桌面部分的链条长为》，质量为 2 至+止时间内落到桌面上的链务质量为 ,其速度由”减到0。选取已下 落至桌面以及时间内下落至桌面的少+段链条为研究对象。由于链条自由下落，y+
离： 方法三，应用质心运动定律求解： 由于内力不改变质心原来运动的轨迹，由在质心 C 落地位置为人不抛出物体时原来落地位置， 现人以相对于自己速度 u 抛出物体 m 时，在下落时间 过程中，人 M 与物体 m 之间的距离： 由质心位置公式知，质量为 M 的人离质心距离为： 【例 4-5】如图所示，一质量为 的匀质链条，长为 L，手持其上端，下端与桌面接 触。现使链条自静止释放落于桌面，试从下述三种不同的规律出发，计算链条下落 距离时桌 面对链条的作用力： （1）动量规律； （2）质心运动规律; （3）变质量动力学规律； 【解】这是一个连续分布的柔性质点系，可以选择不同的部分作为研究对象，也可以从不同的 角度求解。 方法一，运用动量规律求解。取如图 b 坐标。设 时刻下落至桌面部分的链条长为 ，质量为 ； 至 时间内落到桌面上的链条质量为 ，其速度由 减到 0。选取已下 落至桌面以及 时间内下落至桌面的 段链条为研究对象。由于链条自由下落
败2020+g 和桌面支撑力W的作用，根据质点系动量定理： 20+8-w=0-2 肤的动得艺0”：竖盘 N=32 国正2，代人林啦少=8，家 可见链条下落时对桌面的冲击力为已下落至桌面上链条重量的两倍。 方法二，运用质心运动规律求解。由于整条链条受重力和桌面支撑力的作用，其质心作加速运 动。选取如图c所示的坐标，以整条链条为研究对象。 心之0 2 =血=上 质心速度： 质心加速度： 3 且：t 8 代入上式有： a.(-g)3 根据质心运动定理：N-g=洲a。 N=32g 解得： 方法三，运用变质量动力学规律求解。取下落至桌面部分的链条为研究主体，其质量州逐渐 增加，对如图b坐标，质量流相对主体速度大小：“=U=2g 质量流： 质量流对主体的推力： 主体在其重力、桌面支撑力和质量流对主体的推力作用下保持静止。根据变质量动力学方 程： -g-警=0 同样得到上述结果
段仅受到重力 和桌面支撑力 的作用，根据质点系动量定理： 略去 段重力，得： 因 ， ，代入上式，且按题意 ，解得： 。 可见链条下落时对桌面的冲击力为已下落至桌面上链条重量的两倍。 方法二，运用质心运动规律求解。由于整条链条受重力和桌面支撑力的作用，其质心作加速运 动。选取如图 c 所示的坐标，以整条链条为研究对象。 质心位置： 质心速度： 质心加速度： 且： , 代入上式有： 根据质心运动定理： 解得： 方法三，运用变质量动力学规律求解。取下落至桌面部分的链条为研究主体，其质量 逐渐 增加，对如图 b 坐标，质量流相对主体速度大小： 质量流： 质量流对主体的推力： 主体在其重力、桌面支撑力和质量流对主体的推力作用下保持静止。根据变质量动力学方 程： ， 同样得到上述结果
号【例46】从地球表面沿与船蛋镜胶角的方向发射一米射体打速度G不 式中M、R分别为地球的质量和半径。若忽略空气阻力和地球自转的影响，试求： (1)抛射体上升的最大高度H和射程的直线距离AD: (2)求飞行时间T. 【解】(1)由于发射速度比较大，飞行高度与地球半径可比较，见图。抛射体在飞行过程 中受到的引力大小和方向都在改变，可以证明其运动轨迹不再是抛物线，而是椭圆。 题图46a 题图46b 抛射体受地球引力作用，对地心的力矩为零，抛射体对地心的角动量守恒。在发射地A和最大 高度B处的角动量满足： (1) 物体只在地球引力作用下运动，系统的机械能守恒： (2) 将GM=g2,=E和（D式代入(2)式，则(2)式简化为： (m'8-2+1=0 r R_1±cos81±cos8 该二次三项式的解为：”m281-co82日 解得： =R(1+cos8) 椭圆的远地点， r2=R(1-cose) 椭圆的近地点。 椭圆的长半轴和短半轴分别为：
【例 4-6】从地球表面沿与铅垂线成 角的方向发射一抛射体初速度 ， 式中 M、R 分别为地球的质量和半径。若忽略空气阻力和地球自转的影响，试求： （1）抛射体上升的最大高度 H 和射程的直线距离 AD； （2）求飞行时间 T。 【解】（1）由于发射速度比较大，飞行高度与地球半径可比较，见图 a。抛射体在飞行过程 中受到的引力大小和方向都在改变，可以证明其运动轨迹不再是抛物线，而是椭圆。 抛射体受地球引力作用，对地心的力矩为零，抛射体对地心的角动量守恒。在发射地 A 和最大 高度 B 处的角动量满足： （1） 物体只在地球引力作用下运动，系统的机械能守恒： （2） 将 ， 和（1）式代入（2）式，则（2）式简化为： 该二次三项式的解为： ， 解得： 椭圆的远地点， 椭圆的近地点。 椭圆的长半轴和短半轴分别为：
4=+5=R b=n =Rsin e (3) 由图b可见，抛射体的发射点和落地点正处在椭圆短半轴的端点上，抛射体飞行的最大高度和 射程的直线距离分别为：H=片-R=Rc0s日 D=2b=2Rsin 6 R 例如沿60°角方向发射，抛射体可达到的最大高度为： (2)由图b所示抛射体的飞行的面积速度： 从发射点到落地点抛射体扫过的面积为半椭圆和一三角形0D面积之和，即： 8=b+2×Rm9Rcos8 +mcos0 由开普勒第二定律得抛射体的飞行时间： “金-+2ae唱 dt + 若日=60°，则飞行时间‘为
（3） 由图 b 可见，抛射体的发射点和落地点正处在椭圆短半轴的端点上，抛射体飞行的最大高度和 射程的直线距离分别为： 例如沿 角方向发射，抛射体可达到的最大高度为： 。 （2）由图 b 所示抛射体的飞行的面积速度： 从发射点到落地点抛射体扫过的面积为半椭圆和一三角形 OAD 面积之和，即： 由开普勒第二定律得抛射体的飞行时间： 若 ，则飞行时间 为