理论力学笔记 原生生物 *业飞老师课堂笔记 目录 一经典力学回顾 二拉格朗日方程 $2.1最小作用量原理 82.3虚功视角 2.4拉格朗日力学 9 三拉格朗日量与诺特定理 S3.1时空对称性 ·，··，，。·，。·。···。，，。，。。··，。，，。4，。。·， S3.2诺特定理 12 四向心力场中的运动 S4.1轨道方程. 14 642弯曲时空 S4.3弹性碰撞 五微振动 S5.1简谐振动 52简谐振动的推广··········· 22 六哈密顿力学 品 S6.1哈密顿正则方程. S6.2正则变换 63哈密倾雅可比方程…… 七剩体运动 33 S71刚体运动描述··，·· 72欧拉动力学方程…… 36
理论力学 笔记 原生生物 * 袁业飞老师课堂笔记 目录 一 经典力学回顾 2 二 拉格朗日方程 3 §2.1 最小作用量原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 §2.2 变分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 §2.3 虚功视角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 §2.4 拉格朗日力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 三 拉格朗日量与诺特定理 11 §3.1 时空对称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 §3.2 诺特定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 四 向心力场中的运动 14 §4.1 轨道方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 §4.2 弯曲时空 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 §4.3 弹性碰撞 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 五 微振动 21 §5.1 简谐振动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 §5.2 简谐振动的推广 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 六 哈密顿力学 24 §6.1 哈密顿正则方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 §6.2 正则变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 §6.3 哈密顿-雅可比方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 七 刚体运动 33 §7.1 刚体运动描述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 §7.2 欧拉动力学方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1
经典力学回顾 一 经典力学回顾 牛顿时空观 *存在绝对时空，相对绝对时空静止或匀速运动的参考系称为惯性系[实际上并不存在 牛顿三定律： 1.惯性定律，定义惯性系： 2.加速度定律，运动学方程，定义惯性质量与力： 3.作用力反作用力定律。 物理理论要素：刻画系统状态（经典力学中相空间里的点）、动力学方程（描述状态如何随时间演化） 相对性原理：力学规律在不同惯性系中形式不变 牛顿绝对时空的对称性伽利略变换：设惯性系相对∑在x方向以速度v运动，0时刻原点重合，则 时空坐标关系为 [t=r x=x+ut v=v = 而牛顿第二定律在两个惯性系中一致，即 F=ma,F'=F.m'=m F'=m'a *从而可以定义惯性质量m:=￡。 *现代物理学重要思想：对称性决定物理规律，从爱因斯坦创立狭义相对论可以体现 *万有引力定律F=,地球上可定义引力质量mg=号，此处F表示重力。单摆实验等实验证明了 惯性质量与引力质量相等，从而牛顿第二定律中的属性m的确为我们熟知的质量。 *适用范围：宏观[微观尺度量子力学、字宙尺度广义相对论，低速[高速狭义相对论] 狭义相对论 仍设惯性系Σ相对Σ在工方向以速度：运动，0时刻原点重合。 由于只有x方向有运动，变换满足=头，！=，且假设=(+，t=ad+bd。根据光速不变 考虑参考系中以x'=H运动的粒子，在∑系观察必然有x=体，从而(ct+t)=c(at+b'):而 对x=-c比时，亦有x=-ct,综合即得a=罗，b=Y,于是可写成t=y(化+是x)。根据力学相对性 原理，考虑相对的速度有=(-)。由于 日-()) 可解得1=1一)，而这就是狭义相对论下的洛伦兹变换公式，记四维坐标”=，，2，)= (吐，工，弘，)可得张量写法 x“=A“x" YY
一 经典力学回顾 2 一 经典力学回顾 牛顿时空观 * 存在绝对时空，相对绝对时空静止或匀速运动的参考系称为惯性系 [实际上并不存在] 牛顿三定律： 1. 惯性定律，定义惯性系； 2. 加速度定律，运动学方程，定义惯性质量与力； 3. 作用力反作用力定律。 物理理论要素：刻画系统状态 (经典力学中-相空间里的点)、动力学方程 (描述状态如何随时间演化) 相对性原理：力学规律在不同惯性系中形式不变 牛顿绝对时空的对称性 [伽利略变换]：设惯性系 Σ ′ 相对 Σ 在 x 方向以速度 v 运动，0 时刻原点重合，则 时空坐标关系为 t = t ′ x = x ′ + vt′ y = y ′ z = z ′ 而牛顿第二定律在两个惯性系中一致，即 F = ma, F′ = F, m′ = m ⇒ F ′ = m′ a ′ * 从而可以定义惯性质量 mi = F a 。 * 现代物理学重要思想：对称性决定物理规律，从爱因斯坦创立狭义相对论可以体现。 * 万有引力定律 F = GMm r 2 ，地球上可定义引力质量 mg = F g ，此处 F 表示重力。单摆实验等实验证明了 惯性质量与引力质量相等，从而牛顿第二定律中的属性 m 的确为我们熟知的质量。 * 适用范围：宏观 [微观尺度-量子力学、宇宙尺度-广义相对论]，低速 [高速-狭义相对论] 狭义相对论 仍设惯性系 Σ ′ 相对 Σ 在 x 方向以速度 v 运动，0 时刻原点重合。 由于只有 x 方向有运动，变换满足 y ′ = y, z′ = z，且假设 x = γ(x ′ + vt′ ), t = ax′ + bt′。根据光速不变， 考虑参考系 Σ ′ 中以 x ′ = ct′ 运动的粒子，在 Σ 系观察必然有 x = ct，从而 γ(ct′ + vt′ ) = c(act′ + bt′ )；而 对 x ′ = −ct′ 时，亦有 x = −ct，综合即得 a = γv c 2 , b = γ，于是可写成 t = γ t ′ + v c 2 x ′ 。根据力学相对性 原理，考虑 Σ 相对 Σ ′ 的速度有 x ′ = γ(x − vt)。由于 x t ! = γ 1 v v c 2 1 ! x ′ t ′ ! 可解得 γ = 1 − v 2 c 2 −1/2，而这就是狭义相对论下的洛伦兹变换公式，记四维坐标 x µ = (x 0 , x1 , x2 , x3 ) = (ct, x, y, z) 可得张量写法 x µ = Λµ ·νx ′ν Λ µ ·ν = γ γ v c γ v c γ 1 1
二拉格明日方程 对一个运动的粒子，其在∑中经历的状态可以由一系列(，工，，)描述，也即构成了四维空间中的一条 曲线x()。这里T是曲线的参数，对有质量粒子一般为固有时，即随粒子运动的时钟所经历的时间。在 四维情形下，牛顿第二定律扩展成为 f"-m dT- 这里尸，2,3即对应三维的牛顿第二定律，心为时间维度上的力。注意到固有时不会随者参考系变化，在 系中应有 从而由洛伦兹变换线性性即可算出严=，∫”。若”仅在空间的x轴上有力'，计算可得 f=（f,f',0,0】 若即为随粒子运动的参考系，瞬时即有票=Y,由此可知时间维度的方程 =n回 能化为 时'-m-A 实质上是能量方程 而空间维度工方向方程写为 f=m(m出) 事实上为动量方程 *三维牛顿第二定律仅为动量方程，扩展到四维后成为能量动量方程。 开普勒第一完律 本段中，我们用费曼对开普勒第一定律的几何证明以展示经典力学中的物理图像。 引理：由于椭圆可写为到两点距离和一定的点的集合，给定圆心0的一个圆与圆内一点A,动点B在圆 上，则AB中垂线与OB的交点（记为P)轨迹为椭圆。 将行星轨道以太阳为中心以均匀小角度△日剖分，则相邻两点间速度差 2 这里è为指向中心的单位矢量，第二个等号运用了等面积定律。 由于此速度差大小为常数，而色在个方向均匀分布（利用剖分均匀性），可知所有的速度矢量在端点平移到 点后都分布在一个圆上[但端点并非圆心，这就是行星绕太阳雨运动的速度图。只要计算出此速度场积 分形成的曲线，就可以得到行星轨道。 记端点为A,圆心为O,端点绕圆心顺时针旋转多得到A,利用引理方法可构造椭圆。对任何一点B, 可验证引理中所画的中垂线也是椭圆在P处的切线，即速度方向。由于中垂线与AB垂直，A'O与AO 垂直，可得恰好对应出发，终点在圆周上的速度，从而得证。 二拉格朗日方程 S2.1最小作用量原理 最小作用量原理可表述为 6SLg(t】=0
二 拉格朗日方程 3 对一个运动的粒子，其在 Σ 中经历的状态可以由一系列 (ct, x, y, z) 描述，也即构成了四维空间中的一条 曲线 x µ (τ )。这里 τ 是曲线的参数，对有质量粒子一般为固有时，即随粒子运动的时钟所经历的时间。在 四维情形下，牛顿第二定律扩展成为 f µ = m d 2 dτ 2 x µ 这里 f 1,2,3 即对应三维的牛顿第二定律，f 0 为时间维度上的力。注意到固有时不会随着参考系变化，在 Σ ′ 系中应有 f ′µ = m d 2 dτ 2 x ′µ 从而由洛伦兹变换线性性即可算出 f µ = Λµ ·ν f ′ν。若 f ′ν 仅在空间的 x 轴上有力 f ′，计算可得 f = γ v c f ′ , γf′ , 0, 0 若 Σ ′ 即为随粒子运动的参考系，瞬时即有 dt dτ = γ，由此可知时间维度的方程 γ v c f ′ = m d 2 dτ 2 (ct) 能化为 vf′ = d dt (γmc2 ) = d dt E 实质上是能量方程。 而空间维度 x 方向方程写为 γf′ = m d dt m dx dt 事实上为动量方程。 * 三维牛顿第二定律仅为动量方程，扩展到四维后成为能量-动量方程。 开普勒第一定律 本段中，我们用费曼对开普勒第一定律的几何证明以展示经典力学中的物理图像。 引理：由于椭圆可写为到两点距离和一定的点的集合，给定圆心 O 的一个圆与圆内一点 A，动点 B 在圆 上，则 AB 中垂线与 OB 的交点 (记为 P) 轨迹为椭圆。 将行星轨道以太阳为中心以均匀小角度 ∆θ 剖分，则相邻两点间速度差 ∆v = GMm∆t r 2 eˆ = GMm∆θ L eˆ 这里 eˆ 为指向中心的单位矢量，第二个等号运用了等面积定律。 由于此速度差大小为常数，而 eˆ 在个方向均匀分布 (利用剖分均匀性)，可知所有的速度矢量在端点平移到 一点后都分布在一个圆上 [但端点并非圆心]，这就是行星绕太阳雨运动的速度图。只要计算出此速度场积 分形成的曲线，就可以得到行星轨道。 记端点为 A′，圆心为 O，端点绕圆心顺时针旋转 π 2 得到 A，利用引理方法可构造椭圆。对任何一点 B， 可验证引理中所画的中垂线也是椭圆在 P 处的切线，即速度方向。由于中垂线与 AB 垂直，A′O 与 AO 垂直，可得恰好对应 A′ 出发，终点在圆周上的速度，从而得证。 二 拉格朗日方程 §2.1 最小作用量原理 最小作用量原理可表述为： δS[q(t)] = 0
二拉格朗日方程 4 它与牛倾第二定律等价，左侧的q()代表质点的位置随时间变化的映射，q)=(x),(),z()》,左侧6 为泛函的变分，S是一个泛函，定义为 stat))=人4a.g0at g为q对t的导数，即速度，拉格朗日量L定义为T()-V(q()》,前一项代表动能，后一项代表势能。 单质点时，动能即为T=m心。 变分为0的含义事实上是，对任何g的微小变化()=q()+cdg()这里g为保持g(t知)=g(化)=0 的任一光滑函数]，引起的4「a:(t1都在e=0点为0.下面以此计算出单质点的牛顿第二定律。 直接求导可知由于有限区间积分，积分与求导可交换有 ao=(m-va)e）r *此处VV指V(q)对g的梯度。 进一步利用对t对e求导可交换可知=0时上式为 (g-v) 对第一项分部积分，利用边界6g(to)=g)=0可知(-m-7V(q)g的积分为0，由g任意性可 -VV(g)=mij 这也就是保守力场下的牛顿第二定律。 物理意义：这里变分为0代表S在某个驻点，一般来说为局部极小值，因此称为最小作用量原理。由于 L三T一V,动能代表当前发生的程度，势能表示潜在的发生程度，总体表征系统的活跃性，因此最小作 用量原理的物理意义是系统倾向于最低活跃性的状态。这一观念在其他地方也有体现： 静力学最小能量原理 对杠杆，假设两臂长度L1,L2,物体质量m1,m2,证明平衡时m1L1=m2L2:假设L2向上某小角度d0 趋于0的虚角度]，则此端降低近似为L2d0,引力做功-m29L2d0,而另一端引起引力做功为m19L1d0, 由虚功原理引力总做功为0，因此m1L:=m2L2 光学费马原理 下面利用费马原理[光程取极值]推出光的反射与折射定律[由两点直线最短直接得到光在均匀介质中走直 线1： 对于反射，若从A到C,设反射点B,考虑C过镜子对称点C”,由于AB+BC=AB+BC,当且仅 当ABC共线时光程最短，此时满足入射角反射角相等。 对于折射，给定A,B两点，光在介质中传播总时间 直接计算可以证明介质分界面满足n1sinA1=n2sinA2时S=0取到极小值，这就是Smel定律。 非经典情况 双缝干涉揭示了电子与自身的干涉。设电子枪为A点，屏幕为B点，费曼认为每条路径的概率等于几率 幅模长的平方，而电子同时从所有可能路径通行，到每个路径：几率相等，只是相位不同，】的角度
二 拉格朗日方程 4 它与牛顿第二定律等价，左侧的 q(t) 代表质点的位置随时间变化的映射，q(t) = (x(t), y(t), z(t))，左侧 δ 为泛函的变分，S 是一个泛函，定义为 S[q(t)] = Z t1 t0 L( ˙q, q, t)dt q˙ 为 q 对 t 的导数，即速度，拉格朗日量 L 定义为 T( ˙q(t)) − V (q(t))，前一项代表动能，后一项代表势能。 * 单质点时，动能即为 T = 1 2mq˙ 2。 变分为 0 的含义事实上是，对任何 q 的微小变化 qϵ(t) = q(t) + ϵδq(t) [这里 δq 为保持 δq(t0) = δq(t1) = 0 的任一光滑函数]，引起的 d dϵ [qϵ(t)] 都在 ϵ = 0 点为 0. 下面以此计算出单质点的牛顿第二定律。 直接求导可知 [由于有限区间积分，积分与求导可交换] 有 d dϵ S[qϵ(t)] = Z t1 t0 mq˙ϵ · dq˙ϵ dϵ − ∇V (qϵ) · dqϵ dϵ dt * 此处 ∇V 指 V (q) 对 q 的梯度。 进一步利用对 t 对 ϵ 求导可交换可知 ϵ = 0 时上式为 Z t1 t0 mq˙ · dδq dt − ∇V (q) · δq dt 对第一项分部积分，利用边界 δq(t0) = δq(t1) = 0 可知 − mq¨− ∇V (q) · δq 的积分为 0，由 δq 任意性可 知 −∇V (q) = mq¨ 这也就是保守力场下的牛顿第二定律。 物理意义：这里变分为 0 代表 S 在某个驻点，一般来说为局部极小值，因此称为最小作用量原理。由于 L = T − V ，动能代表当前发生的程度，势能表示潜在的发生程度，总体表征系统的活跃性，因此最小作 用量原理的物理意义是系统倾向于最低活跃性的状态。这一观念在其他地方也有体现： 静力学-最小能量原理 对杠杆，假设两臂长度 L1, L2，物体质量 m1, m2，证明平衡时 m1L1 = m2L2：假设 L2 向上某小角度 dθ [趋于 0 的虚角度]，则此端降低近似为 L2 dθ，引力做功 −m2gL2 dθ，而另一端引起引力做功为 m1gL1 dθ， 由虚功原理引力总做功为 0，因此 m1L1 = m2L2。 光学-费马原理 下面利用费马原理 [光程取极值] 推出光的反射与折射定律 [由两点直线最短直接得到光在均匀介质中走直 线]： 对于反射，若从 A 到 C，设反射点 B，考虑 C 过镜子对称点 C ′，由于 AB + BC = AB + BC′，当且仅 当 ABC′ 共线时光程最短，此时满足入射角反射角相等。 对于折射，给定 A, B 两点，光在介质中传播总时间 S[⃗x(t)] = Z B A ds v = 1 c Z B A nds 直接计算可以证明介质分界面满足 n1 sin θ1 = n2 sin θ2 时 δS = 0 取到极小值，这就是 Snell 定律。 非经典情况 双缝干涉揭示了电子与自身的干涉。设电子枪为 A 点，屏幕为 B 点，费曼认为每条路径的概率等于几率 幅模长的平方，而电子同时从所有可能路径通行，到每个路径 pi 几率相等，只是相位不同，ϕ[pk] 的角度
二拉格明日方程 5 =四，S对应经典力学的作用量，从而其可以写为Ac:,从而总几率幅为 op]=∑lpxl=A∑exp (Slpe]） 由于五很小，很小的S变化也会引起相位因子剧烈震荡抵消，只有在S=0附近相位因子相对变化缓 慢，导致几率幅基本同相位，干涉相加。经典情况下只有6S=0的路径可行，而量子力学下所有可能路 径都会通过，只是6S=0的路径几率最大。 $2.2变分 泛函：将个函数映射到一个数值的映射S(x小，如S(x川=(x)dz、S(x】=y(O)。 当函数作微小扰动y时【一般要求y边界处恒为0，泛函的变化定义为变分[等时变分]： 6.J=Ju(x)+6u(x)-Ju(x) 与微分完全相同可证明 6(±2)=61±62 6(山2)=h6h+J26 *变分与微分可交换：(dg)=d(y),可由()=(g+y-=(6g推得。 *与微分时相同，泛函取极值的点必须对任何6y变分为0，否则可取合适的上升下降方向。 例：若考虑泛函儿z引=f((),x)dr,与之前类似可算得 -广（-）她 于是从其恒0得到影一影=0，这就是此泛函的欧拉方程。 *当∫=f(,)与x无关时有 (-y器)=y(g-品)=0 欧拉方程也可以写为∫-影=C。 *当f=f红，)与无关时有 是影-0 即影=C。 最速降线问题 给定上下端点，求静止自然下降到下端点速度最快的曲线。设曲线为y(),最高点yO)=0,向下为正， 根据能量守恒下降y时速度为V2g,而曲线的ds=√1+（序d,于是 6V2g 要取最小值，且(xo)=如固定。 根据欧拉方程可化简得到 (1+(2y=C 分离出dz,dy,设y=Csim20可得到r=C(0-sin(20),这是摆线对应的参数方程
二 拉格朗日方程 5 θk = S[pk] h¯ ，S 对应经典力学的作用量，从而其可以写为 Ae iθk，从而总几率幅为 ϕ[pk] = X k ϕ[pk] = A X i exp i ¯h S[pk] 由于 ¯h 很小，很小的 S 变化也会引起相位因子剧烈震荡抵消，只有在 δS = 0 附近相位因子相对变化缓 慢，导致几率幅基本同相位，干涉相加。经典情况下只有 δS = 0 的路径可行，而量子力学下所有可能路 径都会通过，只是 δS = 0 的路径几率最大。 §2.2 变分 泛函：将一个函数映射到一个数值的映射 S[y(x)]，如 S[y(x)] = R 1 0 y(x)dx、S[y(x)] = y(0)。 当函数作微小扰动 δy 时 [一般要求 δy 边界处恒为 0]，泛函的变化定义为变分 [等时变分]： δJ = J[y(x) + δy(x)] − J[y(x)] 与微分完全相同可证明 δ(J1 ± J2) = δJ1 ± δJ2 δ(J1J2) = J1δJ2 + J2δJ1 δ J1 J2 = J2δJ1 − J1δJ2 J 2 2 * 变分与微分可交换：δ(dy) = d(δy)，可由 δ(y ′ ) = (y + δy) ′ − y ′ = (δy) ′ 推得。 * 与微分时相同，泛函取极值的点必须对任何 δy 变分为 0，否则可取合适的上升/下降方向。 例：若考虑泛函 J[y(x)] = R x2 x1 f(y(x), y′ (x), x)dx，与之前类似可算得 δJ = Z x2 x1 ∂f ∂y − d dx ∂f ∂y′ δydx 于是从其恒 0 得到 ∂f ∂y − d dx ∂f ∂y′ = 0，这就是此泛函的欧拉方程。 * 当 f = f(y, y′ ) 与 x 无关时有 d dx f − y ′ ∂f ∂y′ = y ′ ∂f ∂y − d dx ∂f ∂y′ = 0 欧拉方程也可以写为 f − y ′ ∂f ∂y′ = C。 * 当 f = f(x, y′ ) 与 y 无关时有 d dx ∂f ∂y′ = 0 即 ∂f ∂y′ = C。 最速降线问题 给定上下端点，求静止自然下降到下端点速度最快的曲线。设曲线为 y(x)，最高点 y(0) = 0，向下为正， 根据能量守恒下降 y 时速度为 √ 2gy，而曲线的 ds = p 1 + (y ′) 2 dx，于是 t = Z x0 0 ds v = Z x0 0 s 1 + (y ′) 2 2gy dx 要取最小值，且 y(x0) = y0 固定。 根据欧拉方程可化简得到 (1 + (y ′ ) 2 )y = C 分离出 dx, dy，设 y = C sin2 θ 可得到 x = C θ − 1 2 sin(2θ) ，这是摆线对应的参数方程
二拉格朗日方程 6 悬链线 设悬链线单位长度质量为p,函数(，则体系势能为 代入欧拉方程化简得到-(1+=0，解得y=C1c0sh投，可根据边界条件确定参数 带约束问题 绳子长度固定为L,两端都在x轴上，求围成面积最大的曲线 设函数为(，则面积S=dx,长度L=VT+乎d江。利用乘子法，对S+AL作变分为0可 列出欧拉方程，进一步求解即得（红-c1)2+(g-)2=A2。 *此处入可具有物理意义：入=一关系到面积随长度的变化 拉格朗日方程 根据最小作用量原理与欧拉方程可知对任何下标α有 d oLOL d0%6=0 这或是拉格朗只方程。 *拉格朗日量可加，相加即两个独立体系组成共同体系。 *由于S=Ld,L增加某对t的全微商f)后S增加f)-f化，为常数，因此不会影响变分的 计算。 *在未必是保守系统的一般情形下，势能V无意义，此时哈密顿原理仍然存在，但会有额外的项。 莫培督原理 对于保守场自由运动的质点，考虑作用量 s-mi-dr 则真实轨迹满足6S=0. 证明：由于L=T-V,能量E=T+V守恒，为常数，因此是t的全微商，从而哈密顿原理可改写为 r-v+=0 即25化Tdt=0。注意到单质点的Tdt可以写为mi,dF即可换元得证。 *对质点组，只需积分中对m可：d行求和。 $2.3虚功视角 约束运动：坐标与速度间存在一些不涉及任何力的限制关系，如f(q,,)=0或f(q,4,)≥0。 约束的分类： 1.定常约束（也称稳定约束）：不含时间的约束，如f(q,)=0:不定常约束：随时间变化的约束。 2.几何约束：不含速度的约束，可代表质点在曲线或曲面上运动，如f(4,)=0:完整约束有时认为 完整约束与几何约束等价：几何约束或可以积分为几何约束的约束，如q=0实质上是约束在平 面上，仍然是几何约束：非完整约束：不可积分为几何约束的约束
二 拉格朗日方程 6 悬链线 设悬链线单位长度质量为 ρ，函数 y(x)，则体系势能为 V = ρg Z x2 x1 yds = ρg Z x2 x1 y p 1 + ˙y 2 dx 代入欧拉方程化简得到 yy¨ − (1 + ˙y) 2 = 0，解得 y = C1 cosh x+C2 C1 ，可根据边界条件确定参数。 带约束问题 绳子长度固定为 L，两端都在 x 轴上，求围成面积最大的曲线。 设函数为 y(x)，则面积 S = R x2 x1 ydx，长度 L = R x2 x1 p 1 + ˙y 2 dx。利用乘子法，对 S + λL 作变分为 0 可 列出欧拉方程，进一步求解即得 (x − c1) 2 + (y − c2) 2 = λ 2。 * 此处 λ 可具有物理意义：λ = − δS δL 关系到面积随长度的变化。 拉格朗日方程 根据最小作用量原理与欧拉方程可知对任何下标 α 有 d dt ∂L ∂q˙α − ∂L ∂qα = 0 这就是拉格朗日方程。 * 拉格朗日量可加，相加即两个独立体系组成共同体系。 * 由于 S = R t2 t1 Ldt，L 增加某对 t 的全微商 f ′ (t) 后 S 增加 f(t2) − f(t1)，为常数，因此不会影响变分的 计算。 * 在未必是保守系统的一般情形下，势能 V 无意义，此时哈密顿原理仍然存在，但会有额外的项。 莫培督原理 对于保守场自由运动的质点，考虑作用量 S = Z B A m⃗v · d⃗r 则真实轨迹满足 δS = 0。 证明：由于 L = T − V ，能量 E = T + V 守恒，为常数，因此是 t 的全微商，从而哈密顿原理可改写为 δ Z t2 t1 (T − V + E)dt = 0 即 2δ R t2 t1 T dt = 0。注意到单质点的 T dt 可以写为 1 2m⃗v · d⃗r 即可换元得证。 * 对质点组，只需积分中对 m⃗v · d⃗r 求和。 §2.3 虚功视角 约束运动：坐标与速度间存在一些不涉及任何力的限制关系，如 f(q, q, t ˙ ) = 0 或 f(q, q, t ˙ ) ≥ 0。 约束的分类： 1. 定常约束 (也称稳定约束)：不含时间的约束，如 f(q, q˙) = 0；不定常约束：随时间变化的约束。 2. 几何约束：不含速度的约束，可代表质点在曲线或曲面上运动，如 f(q, t) = 0；完整约束 [有时认为 完整约束与几何约束等价]：几何约束或可以积分为几何约束的约束，如 q · q˙ = 0 实质上是约束在平 面上，仍然是几何约束；非完整约束：不可积分为几何约束的约束
二拉格明日方程 3.可解约束：可在某一方向脱离的约束，即不等式表达且无法化为等式的约束：不可解约束：等式表达 的约束。 自由度：N个质点的自由运动可用3N个独立参量描述（每个质点的空间位置），而每有一个独立的完整 约束，自由参量就减少了一个，若存在k个，则自由度s=3N-k。 广义坐标：自由度为8时，采用8个独立坐标，，9，描述系统，它们就是广义坐标。广义坐标张成的 维空间称为位形空间。 *可解约束视为成立而减少自由度，不成立时需增加一个独立坐标，重新处理。 *广义坐标可以任意选取，但应遵循简洁的原则，如两连单摆构成的双摆只需选取两杆分别的角度0，？ 作为广义坐标。 *称为广义速度 虚位移 假象质点系统发生了微小的符合约束的位移，与实位移dr差别： 1.解时完成，不需要时间： 2.满足约束时可任意选取，并未真实发生： 3.无论对定常或非定常约束都沿着切线方向如膨胀气球上爬行的小虫，虚位移不需要时间因此必为切 线方向。 理想约束：约束反力所作虚功之和为0，即∑，瓦·所=0，例如 1.物体在光滑曲面运动，约束力必然垂直曲面，于是1示： 2.刚性约束：约束力成对出现瓦+2=0如对刚体的约束： 3.接触约束：摩擦力等这里事实上是将摩擦力作为约束产生的主动力处理]。 虚功原理 理想约束条件下，平衡时主动力所做总虚功为0 虚功：力在虚位移下作的假想的功 w=∑（后+）所 这里示为质占所母主动力，豆为质占所受约束力。 若所有质点处在平衡态，必然有+=0，于是W=0,对理想约束即有∑·所=0 广义坐标下： =0 =1a= 由于广义坐标互相独立，记广义力Q。=∑，月·，则方程为∑。Qa6g=0,于是Q。=0。 *保守力体系中设=一VV这里V:知对应子 的三个分量求导后拼成矢量，则Q。=一严=0，于 是虚功原理可写成W=一V=0,也即平衡时势能达到极值。 达朗贝尔原理 理想约束条件下，非平衡时主动力与惯性力所作总虚功为0。 m=耳+屁→∑（-m):所=0
二 拉格朗日方程 7 3. 可解约束：可在某一方向脱离的约束，即不等式表达且无法化为等式的约束；不可解约束：等式表达 的约束。 自由度：N 个质点的自由运动可用 3N 个独立参量描述 (每个质点的空间位置)，而每有一个独立的完整 约束，自由参量就减少了一个，若存在 k 个，则自由度 s = 3N − k。 广义坐标：自由度为 s 时，采用 s 个独立坐标 q1, . . . , qs 描述系统，它们就是广义坐标。广义坐标张成的 s 维空间称为位形空间。 * 可解约束视为成立而减少自由度，不成立时需增加一个独立坐标，重新处理。 * 广义坐标可以任意选取，但应遵循简洁的原则，如两连单摆构成的双摆只需选取两杆分别的角度 θ1, θ2 作为广义坐标。 * 称 q˙i 为广义速度 虚位移 假象质点系统发生了微小的符合约束的位移 δr，与实位移 dr 差别： 1. 瞬时完成，不需要时间； 2. 满足约束时可任意选取，并未真实发生； 3. 无论对定常或非定常约束都沿着切线方向 [如膨胀气球上爬行的小虫，虚位移不需要时间因此必为切 线方向]。 理想约束：约束反力所作虚功之和为 0，即 P i R⃗ i · δ⃗ri = 0，例如： 1. 物体在光滑曲面运动，约束力必然垂直曲面，于是 R⃗⊥δ⃗r； 2. 刚性约束：约束力成对出现 R⃗ 1 + R⃗ 2 = 0 [如对刚体的约束]； 3. 接触约束：摩擦力等 [这里事实上是将摩擦力作为约束产生的主动力处理]。 虚功原理 理想约束条件下，平衡时主动力所做总虚功为 0。 虚功：力在虚位移下作的假想的功 δW = X i (F⃗ i + R⃗ i) · δ⃗ri 这里 F⃗ 为质点所受主动力，R⃗ 为质点所受约束力。 若所有质点处在平衡态，必然有 F⃗ i + R⃗ i = 0，于是 δW = 0，对理想约束即有 P i F⃗ i · δ⃗ri = 0。 广义坐标下： X N i=1 Xs α=1 F⃗ i · ∂⃗ri ∂qα δqα = 0 由于广义坐标互相独立，记广义力 Qα = P i F⃗ i · ∂⃗ri ∂qα，则方程为 P α Qαδqα = 0，于是 Qα = 0。 * 保守力体系中设 F⃗ i = −∇iV [这里 ∇i 知对应 ⃗ri 的三个分量求导后拼成矢量]，则 Qα = − ∂V ∂qα = 0，于 是虚功原理可写成 δW = −δV = 0，也即平衡时势能达到极值。 达朗贝尔原理 理想约束条件下，非平衡时主动力与惯性力所作总虚功为 0。 m¨⃗ri = F⃗ i + R⃗ i ⇒ X i F⃗ i − m¨⃗ri · δ⃗ri = 0
二拉格朗日方程 双连杆平衡 两长度为l,2、质量为m, 2连杆，力F水平向前作用在最底端，求平衡时两连杆的偏移角度1,B2 记两连杆中心点，，F作用点，则 6W=m1g.6+m2g6品2+F.6 且这里，(0)=(cos0,sin),向下、向前为两轴正方向] =(0) =1e,(0)+e,(02) g=I1e,(01)+l2e,(02) 代入整理并由1,602独立即可解出 2F 2F 0arctan (marctanm *由于下与mG均为保守力，此处也可用势能最低解出结果。 连线穿孔两小球运动 桌面上有一质量m1小球，通过一条长1的线连接到原点处桌下自由下落质量m2小球，求运动轨迹。 取广义坐标为桌上小球的,,则有 i=rrf=-(l-r)e: 于是可进一步算出沉，行，与元，在广义坐标下的表示，从而代入达朗贝尔方程得到[由垂直忽略m的 重力项] -m1(-r护)e,+(ri+2r0)eg)·(6re,+r60eo)+(-m29-m2r)e.·dre2=0 化简得到 J(m1+m2)F-m1r2+m2g=0 8+2r0=0 *第二个方程可以得到29为常数，本质为角动量守恒，从而可以进一步求解轨迹。 拉格朗日方程的推导 根据达朗贝尔原理变换为广义坐标后可得方程 ∑m那-o. 由于元=∑.肥+需，有 张-蕊 于是对动能T有 需-∑恶恶-工m成恶 代入化简即有 品g-恶-0 这就是一般的拉格朗日方程
二 拉格朗日方程 8 双连杆平衡 两长度为 l1, l2、质量为 m1, m2 连杆，力 F⃗ 水平向前作用在最底端，求平衡时两连杆的偏移角度 θ1, θ2。 记两连杆中心点 ⃗r1, ⃗r2，F⃗ 作用点 ⃗rF，则 δW = m1⃗g · δ⃗r1 + m2⃗g · δ⃗r2 + F⃗ · δ⃗rF 且 [这里 eˆr(θ) = (cos θ,sin θ)，向下、向前为两轴正方向] ⃗r1 = l1 2 eˆr(θ1) ⃗r2 = l1eˆr(θ1) + l2 2 eˆr(θ2) ⃗rF = l1eˆr(θ1) + l2eˆr(θ2) 代入整理并由 δθ1, δθ2 独立即可解出 θ1 = arctan 2F (m1 + 2m2)g , θ2 = arctan 2F m2g * 由于 F⃗ 与 m⃗g 均为保守力，此处也可用势能最低解出结果。 连线穿孔两小球运动 桌面上有一质量 m1 小球，通过一条长 l 的线连接到原点处桌下自由下落质量 m2 小球，求运动轨迹。 取广义坐标为桌上小球的 r, θ，则有 ⃗r1 = reˆr, ⃗r2 = −(l − r)ˆez 于是可进一步算出 δ⃗r1, δ⃗r2 与 ¨⃗r1, ¨⃗r2 在广义坐标下的表示，从而代入达朗贝尔方程得到 [由垂直忽略 m1 的 重力项] −m1 (¨r − r ˙θ 2 )ˆer + (r ¨θ + 2 ˙r ˙θ)ˆeθ · (δreˆr + rδθeˆθ) + (−m2g − m2r¨)ˆez · δreˆz = 0 化简得到 (m1 + m2)¨r − m1r ˙θ 2 + m2g = 0 r ¨θ + 2 ˙r ˙θ = 0 * 第二个方程可以得到 r 2 ˙θ 为常数，本质为角动量守恒，从而可以进一步求解轨迹。 拉格朗日方程的推导 根据达朗贝尔原理变换为广义坐标后可得方程 X i mi ¨⃗ri · ∂⃗ri ∂qα = Qα 由于 ˙⃗ri = P α ∂⃗ri qα q˙α + ∂⃗ri ∂t ，有 ∂⃗ri ∂qα = ∂ ˙⃗ri ∂q˙α 于是对动能 T 有 ∂T ∂q˙α = X i mi ˙⃗ri · ∂⃗ri ∂qα , ∂T ∂qα = X i mi ˙⃗ri · ∂ ˙⃗ri ∂qα 代入化简即有 d dt ∂T ∂q˙α − ∂T ∂qα = Qα 这就是一般的拉格朗日方程
二拉格明日方程 *对保守系统，代入Q。=一恶即得 这里L=T-V。 *拉格朗日方程也可以改写为是兴-匙-Q,Q。表示非保守力的部分。 $2.4拉格朗日力学 优势： 1.其为s(自由度)个二阶动力学方程，较之牛顿力学更简洁，且引入广义坐标后可能简化问题： 2.拉格朗日力学分析对象是能量量纲的拉格朗日量，分析性质更重，弱化了几何上的矢量方程： 3.能量作为相互作用的普遍度量在物理学中有普适性： 4.根据对称性，可以从新的拉格朗日量出发构造新理论。 一般求解流程： 1.确定系统自由度： 2.选择广义坐标 3.将位置矢量用广义坐标表达： 4.计算速度 5.给出总动能： 6.给出势能或广义力： 7.得到拉格朗日方程组： 8.结合初始条件求解。 一维运动 L=2m2-V) 于是mt=影，从而 m=-V'(e) 由此也可计算得到 E=22+V() 是守恒量。 二维向心力场 以？，0作为广义坐标，则变换坐标系计算动能得到 L=2+r202)-V) 对？，0分别代入拉格朗日方程有 mi =mr02-V'(r)
二 拉格朗日方程 9 * 对保守系统，代入 Qα = − ∂V ∂qα 即得 d dt ∂L ∂q˙α − ∂L ∂qα = 0 这里 L = T − V 。 * 拉格朗日方程也可以改写为 d dt ∂L ∂q˙α − ∂L ∂qα = Q¯ α，Q¯ α 表示非保守力的部分。 §2.4 拉格朗日力学 优势： 1. 其为 s (自由度) 个二阶动力学方程，较之牛顿力学更简洁，且引入广义坐标后可能简化问题； 2. 拉格朗日力学分析对象是能量量纲的拉格朗日量，分析性质更重，弱化了几何上的矢量方程； 3. 能量作为相互作用的普遍度量在物理学中有普适性； 4. 根据对称性，可以从新的拉格朗日量出发构造新理论。 一般求解流程： 1. 确定系统自由度； 2. 选择广义坐标； 3. 将位置矢量用广义坐标表达； 4. 计算速度； 5. 给出总动能； 6. 给出势能或广义力； 7. 得到拉格朗日方程组； 8. 结合初始条件求解。 一维运动 L = 1 2 mx˙ 2 − V (x) 于是 mx˙ = ∂L ∂x˙ ，从而 mx¨ = −V ′ (x) 由此也可计算得到 E = 1 2 x˙ 2 + V (x) 是守恒量。 二维向心力场 以 r, θ 作为广义坐标，则变换坐标系计算动能得到 L = 1 2 ( ˙r 2 + r 2 ˙θ 2 ) − V (r) 对 r, θ 分别代入拉格朗日方程有 mr¨ = mr ˙θ 2 − V ′ (r)
二拉格朗日方程 10 4mr20)=0 第二个式子即为角动量守恒，记0=m2,代入第一个式子可得 m=慕-o 从而即可求解r。 阿特伍德机 无摩擦滑轮两端悬挂质量m1,m2物体，设绳竖直部分！长，m1上方长工，则 L=m:+m)2+mgr+m2g1-） 代入拉格朗日方程即解出 弹簧单摆 质量M,原长α水平弹簧一端挂线长1单摆，小球质量m,以弹簧长度变化x与单摆角度0作广义坐标 则计算可得 L=M+m(+1cos902+Qsin902)）-5kx2-m6 于是代入拉格朗日方程得 (M+m)+ml cos00-ml sin002 =-kx ml cos+ml20=-mgl sin0 *小振动时si血日≥，cs01，于是可得到线性常微分方程组，通过特征值解得固有频率 峰=（6+(（1+a)±√6-2+2n(6+i号 这里a=晋，w哈=意，好= 双摆 单摆末端连接另一单摆，已知1，m,2,m,以0，为广义坐标，则 1=h sin0,r2=h sin+lsin h=-41c0s91,期=-41c0s91-l2c0sA2 于是列出拉格朗日量后可解出 l,d+mh(cos(0-0a)8+sin(8-0)02）+9sin8=0 h cos(01 -02)01 +1a02 -li sin(01-02)03 +gsin 2 =0 *类似代数处理得到小振动时可得简正频率为 4=喝=号 =0-)±0-卵+a=m平nm8=会
二 拉格朗日方程 10 d dt (mr2 ˙θ) = 0 第二个式子即为角动量守恒，记 pθ = mr2 ˙θ，代入第一个式子可得 mr¨ = p 2 θ mr3 − V ′ (r) 从而即可求解 r。 阿特伍德机 无摩擦滑轮两端悬挂质量 m1, m2 物体，设绳竖直部分 l 长，m1 上方长 x，则 L = 1 2 (m1 + m2) ˙x 2 + m1gx + m2g(l − x) 代入拉格朗日方程即解出 x¨ = m1 − m2 m1 + m2 g 弹簧单摆 质量 M，原长 a 水平弹簧一端挂线长 l 单摆，小球质量 m，以弹簧长度变化 x 与单摆角度 θ 作广义坐标， 则计算可得 L = 1 2 Mx˙ 2 + 1 2 m ( ˙x + l cos θ ˙θ) 2 + (lsin θ ˙θ 2 ) − 1 2 kx2 − mgl cos θ 于是代入拉格朗日方程得 (M + m)¨x + ml cos θ ¨θ − mlsin θ ˙θ 2 = −kx ml cos θx¨ + ml2 ¨θ = −mglsin θ * 小振动时 sin θ ≃ θ, cos θ ≃ 1，于是可得到线性常微分方程组，通过特征值解得固有频率 ω 2 ± = 1 2 (ω 2 0 + (1 + α)ω 2 1 ) ± 1 2 q (ω 2 0 − ω 2 1 ) 2 + 2α(ω 2 0 + ω 2 1 )ω 2 1 这里 α = m M , ω2 0 = k M , ω2 1 = g l 。 双摆 单摆末端连接另一单摆，已知 l1, m1, l2, m2，以 θ1, θ2 为广义坐标，则 x1 = l1 sin θ1, x2 = l1 sin θ1 + l2 sin θ2 y1 = −l1 cos θ1, y2 = −l1 cos θ1 − l2 cos θ2 于是列出拉格朗日量后可解出 l1 ¨θ1 + m2l2 m1+m2 cos(θ1 − θ2) ¨θ2 + sin(θ1 − θ2) ˙θ2 + g sin θ1 = 0 l1 cos(θ1 − θ2) ¨θ1 + l2 ¨θ2 − l1 sin(θ1 − θ2) ˙θ1 + g sin θ2 = 0 * 类似代数处理得到小振动时可得简正频率为 ω± = ω0 1 + r± , ω2 0 = g l1 r± = 1 2 (β − 1) ± 1 2 p (1 − β) 2 + 4αβ, α = m2 m1 + m2 , β = l1 l2
