第12章导体电学 夕一、导体静电平衡时的特点 1、导体内任意点的场强都为零。 2、导体是个等势体，导体表面是个等势面。 3、导体表面附近的场强垂直于导体表面。 4、电荷只分布在导体表面，导体内部净电荷为零。 B=0 5、导体表面电荷面密度与导体表面外附近场强成正比， 6、导体表面（在大多情况下）曲率大的地方电荷密度大，曲率小的地方电荷密度小。 0 7、导体表面单位面积所受的力（表面电荷斥压强） 2 8、静电屏蔽：导体空腔屏蔽外场，接地导体空腔可屏蔽内场。 夕三、电容器 1、电容器的电容是描述电容器储存电荷（或电场能）的物理量。 孤立导体的电容定义为 c-g C= 电容器的电容定义为 U。-, 2、几种充满某一种介电常数为介质的电容器的电容 (a)平行板电容器 C- 2x C= (b)圆柱形电容器 In R /R C=4 (c)球形电容器 R2-R 3、电容器的联接 (a)串联： 总电压等于各电容分电压之和 U=∑0 每个电容器上所带的电量都相同 1 串联后的等效电容与各电容器关系
第 12 章 导体电学 一、导体静电平衡时的特点 1、导体内任意点的场强都为零。 2、导体是个等势体，导体表面是个等势面。 3、导体表面附近的场强垂直于导体表面。 4、电荷只分布在导体表面，导体内部净电荷为零。 5、导体表面电荷面密度与导体表面外附近场强成正比， 。 6、导体表面（在大多情况下）曲率大的地方电荷密度大，曲率小的地方电荷密度小。 7、导体表面单位面积所受的力（表面电荷斥压强） 。 8、静电屏蔽：导体空腔屏蔽外场，接地导体空腔可屏蔽内场。 二、电容器 1、电容器的电容是描述电容器储存电荷（或电场能）的物理量。 孤立导体的电容定义为 电容器的电容定义为 2、几种充满某一种介电常数为 介质的电容器的电容 （a）平行板电容器 （b）圆柱形电容器 （c）球形电容器 3、电容器的联接 （a）串联： 总电压等于各电容分电压之和 每个电容器上所带的电量都相同 串联后的等效电容与各电容器关系
(b)并联： 每个电容器上的电压均相同 U=U, 总带电量等于各电容带电量之和 9-∑0 并联后的等效电容和各个电容器关系 C=∑C, 4、电容器所储存电势能 w- 7 2元200 三、电源电动势 1、电源就是提供某种非静电力，分离正负电荷，将其他形式的能量转化为电能的装置。 2、电源电动势的定义： =={底i 电源电动势就是电源提供非静电力，把单位正电荷从负极经内电路运送到正极时 所作的功，或者说电源电动势就是非静电场强“在闭合电路上的环流。 3、电源的功率 P=e 号日、家提定体的微分形式 1、电流密度 方=ei。 式中”为单位体积内的自由电子数，正为金属导体内自由电子的宏观漂移速度。 2、欧姆定律的微分形式 y=1 式中P,叫做电导率，它等于电阻率的倒数 3、焦耳楞次定律的微分形式 =g2=v8 功率密度d
（b）并联： 每个电容器上的电压均相同 总带电量等于各电容带电量之和 并联后的等效电容和各个电容器关系 4、电容器所储存电势能 三、电源电动势 1、电源就是提供某种非静电力，分离正负电荷，将其他形式的能量转化为电能的装置。 2、电源电动势的定义： 电源电动势就是电源提供非静电力 ，把单位正电荷从负极经内电路运送到正极时 所作的功，或者说电源电动势就是非静电场强 在闭合电路上的环流。 3、电源的功率 四、欧姆定律的微分形式 1、电流密度 式中 为单位体积内的自由电子数， 为金属导体内自由电子的宏观漂移速度。 2、欧姆定律的微分形式 式中 ，叫做电导率，它等于电阻率的倒数。 3、焦耳楞次定律的微分形式 功率密度
夕五、基尔夫定律： ∑4=0 节点电流方程： 回路电压方程，习号+∑代=0
五、基尔霍夫定律： 节点电流方程： 回路电压方程：
第12章导体电学 号【例12-1】如题图12-1a所示，平行放置两金属板A和B,面积为S,两板内表面间距 为d,(d的线度远小于平行板边长的线度，也就是金属板带电后可忽略边缘效应)。 (1)金属板A带电时，B板不带电求两板间的电势若=巴。-，。 (2)金属板A带电，金属板B带电时，求两板间的电势差。 (3)金属板A带电心，金属板B接地，求两板间的电势差 B (s 短图121n 题图公思图12-1r吉 【解】()我们先求A、B两板各个面上的电荷分布，：c和口，」 在图b中，由于B板原来不带电所以有 0+54=0或=-04 也就是由于B板。感应电荷对板外的合场强为零，所以A板的电荷分布不受B板的影响，因此 得 4=0是 AB板间的电势差 (2)给B板带电量39时，我们重新求解AB各表面电荷面密度9心口，和0，。由电荷守 恒定律 +0=是 (1)
第 12 章 导体电学 【例 12-1】如题图 12-1a 所示，平行放置两金属板 A 和 B，面积为 S，两板内表面间距 为 d，（d 的线度远小于平行板边长的线度，也就是金属板带电后可忽略边缘效应）。 （1）金属板 A 带电 时，B 板不带电求两板间的电势差 。 （2）金属板 A 带电 ，金属板 B 带电 3 时，求两板间的电势差 。 （3）金属板 A 带电 ，金属板 B 接地，求两板间的电势差 。 【解】（1） 我们先求 A、B 两板各个面上的电荷分布 。 在图 b 中，由于 B 板原来不带电所以有 或 也就是由于 B 板。感应电荷对板外的合场强为零，所以 A 板的电荷分布不受 B 板的影响，因此 得 AB 板间的电势差 （2）给 B 板带电量 3 时，我们重新求解 AB 各表面电荷面密度 。由电荷守 恒定律 （1）
a+,-得 (2) 我们取水平向右为场强的正方向，由场板迭加原理板A内的点和板B内的b点的合场强为零 即 4--9-g=0 2s26.2s02s (3) 4+92++=0 28.2%28,2。 (4) 解以上四式得 由场强选加原理可得两板间的场强 B=+5-5-=9 26 26 26,26,6,S 亦可用高斯定理（如图b所示）；或直接用金属表面附近的场强公式 8- 0,=04-。=-9d 由此得AB板间电势差 (3)将B金属板接地，应注意B板接地并非B板不带电。而是指B板的电势为零。B板的电 势为零，则口：=0，如果口，≠0，则根据高斯定理必有电力线由B外侧穿出到无穷远处或到 地。这样B板的电势不为零与B板接地相矛盾，因此，=0，且B板外侧场强为零。 应注意B板内侧受到A极电荷产生的场影响，≠0，对B板内的任一点b的场强应为 零，由场强迭加原理 ++0 所以 此时又必须满足A板内任意点a场强为零，由场强迭加原理和电荷守恒定律
（2） 我们取水平向右为场强的正方向，由场板迭加原理板 A 内的 a 点和板 B 内的 b 点的合场强为零 即 （3） （4） 解以上四式得 由场强迭加原理可得两板间的场强 亦可用高斯定理（如图 b 所示）；或直接用金属表面附近的场强公式 由此得 AB 板间电势差 （3）将 B 金属板接地，应注意 B 板接地并非 B 板不带电。而是指 B 板的电势为零。B 板的电 势为零，则 ；如果 ，则根据高斯定理必有电力线由 B 外侧穿出到无穷远处或到 地。这样 B 板的电势不为零与 B 板接地相矛盾，因此 ，且 B 板外侧场强为零。 应注意 B 板内侧 受到 A 极电荷产生的场影响， ，对 B 板内的任一点 b 的场强应为 零，由场强迭加原理 所以 此时又必须满足 A 板内任意点 a 场强为零，由场强迭加原理和电荷守恒定律
4-9-=0 2828,2e +-是 可得 51=0 0= 可见B板接地后，B两板的电荷都分布在金属板内侧，此时两板间电势差 6八=Ed=gd 【例12-2】一接地无限大导体前面垂直放置一半无限长均匀带电线电荷密度为 的直线电荷，直线电荷的一端距导体平面距高密度为，如题图12-2所示 求：(1)垂足0点处的感应电荷面密度： (2)平面上距0点处P的感应电荷密度： (3)在感应面密度为处的导体表面的面积上感应电荷所受的电场力： y 您图2-2 【解】(1)半无限长直线电荷在垂足。处产生的场 设垂足处导体板感应电荷密度为0，导体板内的合场强为零，即 式 00=0 00=2d (2)半无限长带电直线在P点处产生的场强的不分量为 与(1)中情况相似，可得板内的场强为零，即
可得 可见 B 板接地后，AB 两板的电荷都分布在金属板内侧，此时两板间电势差 【例 12-2】一接地无限大导体前面垂直放置一半无限长均匀带电线电荷密度为 的直线电荷，直线电荷的一端距导体平面距离密度为 ，如题图 12-2 所示 求：（1）垂足 o 点处的感应电荷面密度； （2）平面上距 o 点 处 P 的感应电荷密度； （3）在感应面密度为 处的导体表面 的面积上感应电荷所受的电场力； 【解】（1） 半无限长直线电荷在垂足 o 处产生的场 强 设垂足处导体板感应电荷密度为 ，导体板内的合场强为零，即 （2）半无限长带电直线在 P 点处产生的场强的 分量为 与（1）中情况相似，可得板内的场强为零，即
元-0=0 4z20 (请读者考虑用镜象法求解) (3)我们先求垂足处感应电荷所受的力风 配，=的8aaee为 方向沿不正方向 在位置P处感应电荷所受的电场力 )deaa 沿x正方向。 事实上，直接可代金属表面单位面积所受力的公式 -西2同样可得上述结果 【例12-3】如愿图12-3a所示，一电容器的两极板都是边长为a的正方形金属板，两 板不严格平行，而有一夹角。证明，当4时略去边缘效应，它的电容 2d d+a 短图12a 图123 出医12-3e
得 （请读者考虑用镜象法求解） （3）我们先求垂足处感应电荷所受的力 方向沿 正方向 在位置 P 处感应电荷所受的电场力 沿 正方向。 事实上，直接可代金属表面单位面积所受力的公式 同样可得上述结果。 【例 12-3】如题图 12-3a 所示，一电容器的两极板都是边长为 a 的正方形金属板，两 板不严格平行，而有一夹角 。证明，当 时略去边缘效应，它的电容
【解】本题通常采用三种解法：(1)电容的并联：(2)电容的串联：(3)从电容的定义出 发求解。前两种方法不尽合理，下面就这三种解法作些讨论。 方法一，用电容器并联公式求解 把图1的电容器看作大量细狭条的电容器元并联而成，其中任一电容器元的电容 adC=d的-品adh a”d+x日 总电容 c=-海号+9 d+x日 由于题设 a,即c1 上式按泰勒级数展开 C￥eaaa 但应注意，这一解法的明显不妥之处有二：其一是每一电容 d”,而应是两长直导线 间的电容；其二是每一对对应狭条之间有自身电容，各狭条电容器元之间还存在者互电容。那 么为什么这错误的观点能得出正确的结论呢？由于各狭条电容器元之间的自电容和互电容的相 互影响，使两极板间的电力线几乎平行分布，相当于忽略了互电容，而将自电容dC看作为平 行板电容器，这两种错误观点正好互补，以至得出正确的结果，这种“错错得对”的处理方法 还是不宜采用的。 方法二，利用电容器的串联公式求解 如图b所示，补上一只与原来那只完全相同的电容器，与原来的那只相串联，串联后的电容 C=2温+a8,原来电容为串联后电容的2倍。 C=2c=2a+a8- 0+爱 由于2ac1 ，上式可近似为 看来这种解法很巧妙，实质上这种解法也是不妥的，因为这两只电容器串联后，中间的那块倾 斜的金属板是个等势体，它将影响电力线的分布，电力线并非均匀的平行直线，而每只电容器 a· 的电力线应如图3所示的那样分布，因此②a+日，那么为什么这种方法也能得出正 的结果呢？因为题设 ，电力线的不均匀性不明显，仍近似看作平行直线，相当于把中
【解】本题通常采用三种解法：（1）电容的并联；（2）电容的串联；（3）从电容的定义出 发求解。前两种方法不尽合理，下面就这三种解法作些讨论。 方法一，用电容器并联公式求解 把图 1 的电容器看作大量细狭条的电容器元并联而成，其中任一电容器元的电容 总电容 由于题设 ，即 ，上式按泰勒级数展开 但应注意，这一解法的明显不妥之处有二：其一是每一电容 ，而应是两长直导线 间的电容；其二是每一对对应狭条之间有自身电容，各狭条电容器元之间还存在着互电容。那 么为什么这错误的观点能得出正确的结论呢？由于各狭条电容器元之间的自电容和互电容的相 互影响，使两极板间的电力线几乎平行分布，相当于忽略了互电容，而将自电容 看作为平 行板电容器，这两种错误观点正好互补，以至得出正确的结果，这种“错错得对”的处理方法 还是不宜采用的。 方法二，利用电容器的串联公式求解 如图 b 所示，补上一只与原来那只完全相同的电容器，与原来的那只相串联，串联后的电容 ，原来电容为串联后电容的 2 倍。 由于 ，上式可近似为 看来这种解法很巧妙，实质上这种解法也是不妥的，因为这两只电容器串联后，中间的那块倾 斜的金属板是个等势体，它将影响电力线的分布，电力线并非均匀的平行直线，而每只电容器 的电力线应如图 3 所示的那样分布，因此 ，那么为什么这种方法也能得出正确 的结果呢？因为题设 ，电力线的不均匀性不明显，仍近似看作平行直线，相当于把中
间倾斜的金属板拿掉了，忽略边缘效应，得出了这种近似下的C后，再经数学的近似处理，正 好把答案“凑”对了。因此，这种方法仍不宜采用。 方法三，从电容器的定义出发求解 设电容器带电量Q后，两极板的电势差为U,两极板的延长面交线为0轴，由静电场回路定律 可知，两极板靠近的那端的电力线比另一端要密，电力线接近于圆弧，如图c所示，在离0轴 B= r处的场强E可表示为 r8 = 设极板上离0轴距离r处的电荷密度为F,则 o=&l 比较以上两式得 re 极板上的总电量 j昭- e=∫s=Ts0 a8 <<1 由于d ，将上式按泰勒级数展开 eg-- d =2= ae 由电容器电容的定义 这第三种方法计算稍繁一些，但比较严谨合理。 夕【例12-】如题图12-4如所不，半径1厘米的导体球带有电量=1以10库仑的电 量，球外有一内外半径=3厘米，8=4厘米的同心导体球壳，壳上带有电2=11×10 库仑。 求：(1)内球的电势，外球亮的电势， (2)将内球接地，在外球离地面很远的情况下，外球壳的电势：'为多少？ 【解】(1)在导体球壳内作包围球壳内表面的高斯面S。球壳内表面感应电荷应满足 手拉d奶=9+9 高斯定理： 由于导体壳内的8=0，所以有9+90，即 g'=-g
间倾斜的金属板拿掉了，忽略边缘效应，得出了这种近似下的 C 后，再经数学的近似处理，正 好把答案“凑”对了。因此，这种方法仍不宜采用。 方法三，从电容器的定义出发求解 设电容器带电量 Q 后，两极板的电势差为 U，两极板的延长面交线为 O 轴，由静电场回路定律 可知，两极板靠近的那端的电力线比另一端要密，电力线接近于圆弧，如图 c 所示，在离 O 轴 r 处的场强 E 可表示为 设极板上离 O 轴距离 r 处的电荷密度为 ，则 比较以上两式得 极板上的总电量 由于 ，将上式按泰勒级数展开 由电容器电容的定义 得证。 这第三种方法计算稍繁一些，但比较严谨合理。 【例 12-4】如题图 12-4a 所示，半径 =1 厘米的导体球带有电量 库仑的电 量。球外有一内外半径 =3 厘米， =4 厘米的同心导体球壳，壳上带有电量 库仑。 求：（1）内球的电势 ，外球壳的电势 ； （2）将内球接地，在外球离地面很远的情况下，外球壳的电势 '为多少？ 【解】（1）在导体球壳内作包围球壳内表面的高斯面 S。球壳内表面感应电荷 应满足 高斯定理： 由于导体壳内的 ，所以有 ，即
再有电量守恒定律可知，在R球壳外表面上带电量为十9，这带电系统的电荷分布如题图 11-4所示，由电势迭加原理可求得： 的图21m Q-9 题剑12北 4π6，R,R, 伏 , 4s元=9x10×+1)×10 g+2 =270 4×102 伏 (2)内球接地，指的是内球电势为零（不是内球的电量为零）。设接地后内球带电为9，类 布只2g+=a 似于图b的电荷分布，只需将9换成9即可，得： 0=e +9 解得912=-3x10 库仑 此情况下导体外壳的电势 -=180 4×10° 方法二，可将半径尽和R两球面看作为球形电容器，它的电容量 Cu =4n6 R,-R 将的球面由无穷远处组成相当于孤立导体的电容 C=4π6R
再有电量守恒定律可知，在 球壳外表面上带电量为 ，这带电系统的电荷分布如题图 11-4b 所示，由电势迭加原理可求得： 伏 伏 （2）内球接地，指的是内球电势为零（不是内球的电量为零）。设接地后内球带电为 ，类 似于图 b 的电荷分布，只需将 换成 即可，得： 解得： 库仑 此情况下导体外壳的电势 伏 方法二，可将半径 和 两球面看作为球形电容器，它的电容量 将 的球面由无穷远处组成相当于孤立导体的电容
