第18章电磁波 夕一、平面电磁波波动方程微分形式！ 0 夕二、平面余弦电磁波的基本性质： 1、电场强度方向E磁场强度H,及电磁波传播方向三者互相垂直 2、电磁波具有偏振性。 M= 4、波速红 夕三、电磁技的能量 1、电磁场的能密度 w=28+54 2、电磁场的能流密度（辐射强度矢量）（坡印延矢量） 府=应× 3、电磁场的动量密度 8=e=马x月 C 4、电磁波的辐射压力（垂直入射） 物体表面全部吸收时： P-29=2 物体表面全部反射时： 夕口、电陆被与机拔波的比技表
第 18 章 电磁波 一、平面电磁波波动方程微分形式： 二、平面余弦电磁波的基本性质： 1、电场强度方向 E 磁场强度 H，及电磁波传播方向三者互相垂直。 2、电磁波具有偏振性。 3、E 和 H 相位相同并满足： 或 。 4、波速 。 三、电磁波的能量 1、电磁场的能密度 2、电磁场的能流密度（辐射强度矢量）（坡印延矢量） 3、电磁场的动量密度 4、电磁波的辐射压力（垂直入射） 物体表面全部吸收时： 物体表面全部反射时： 四、电磁波与机械波的比较表
电避 被孤 蛋由握动物体 强追振荡电有 波的传播 由于煤质之同无弹性力作用，传播机械表动状志 由于变化电西场相互撒发，传播电延橛动状态 速 (V) a 器=洛 电场分题：得 场分量：= y=Acon(ut-kz) 86 有飘皮，有情波 能量密度 …冬p(7)'+(2)月 0-；B+}n 动能+势能 电场能+密墙的 】和B装 S=w。B×H 强度 1n号pAg vF房 -熟2泽 E=+8品 多普秘效应 V CE
第18章电磁波 号【例18-1】试从麦克斯韦方程组积分形式，导出电慰波波动方程的微分形式，并求电磁 波波速。 【解】如题图18-1所示，设电磁波的电场强度卫沿x方向，磁场强度7沿y方向，电磁波 沿2方向传播。我们研究离波源远处(0,0,2)一体积元=血内边中变化电场与变化磁 场之间的关系。 迈图18-la 邈图18-Ih 便于计算将体积元处局部放大，如b图所示。对回路I应用变化的磁场激发电场的麦克斯韦方 程 啦d=-四 d 取回路I的方向与y轴一致，并注意到豆与正的方向垂直，有豆·左=0，则上式可写 Ee+）d-E(2)dx= 考虑到场强随位置的变化， 8e+)=8e)+ 上式又可写成： 即： aB (1) 对回路Ⅱ应用变化电场激发磁场的麦克斯韦方程（位移电流激发磁场） 程--碧8 取回路Ⅱ的方向与x轴的方向相同，并注意到户与左方向垂直。有五正=0上式可写 aD 成： H办+的=器内血
第 18 章 电磁波 【例 18-1】试从麦克斯韦方程组积分形式，导出电磁波波动方程的微分形式，并求电磁 波波速。 【解】如题图 18-1a 所示，设电磁波的电场强度 沿 x 方向，磁场强度 沿 y 方向，电磁波 沿 z 方向传播。我们研究离波源远处（0，0，z）一体积元 中变化电场与变化磁 场之间的关系。 便于计算将体积元处局部放大，如 b 图所示。对回路 I 应用变化的磁场激发电场的麦克斯韦方 程 取回路 I 的方向与 y 轴一致，并注意到 与 的方向垂直，有 ，则上式可写 成 考虑到场强随位置的变化， 上式又可写成： 即： （1） 对回路Ⅱ应用变化电场激发磁场的麦克斯韦方程（位移电流激发磁场） 取回路Ⅱ的方向与 x 轴的方向相同，并注意到 与 方向垂直。有 上式可写 成：
ag出 即： H办-H+的出w= 得： aH 或 (2) 为消去E,(1)式对t求偏导数 01) 8E (3) 02) (2)式对2求偏导数，即正， 2 得：64定 (4) 8B (3)(4)式消去z可 B s102g 得： 04h (5) 31)02 与此类同，记和，消去B可得： a2E1∂2E 5o (6) 由此所得(5)(6)式为电磁波磁场和电场的偏微分方程形式，将它们与标准平面波波动方程 的动力学方程2 u203 c 比较可得，电场与磁场的电磁波波速均为西 (光 速)。 号【例18-2】一C电路的尺寸如图所示，七0时，圆形平行板电容器C上的电量为品， 此时合上开关K,电容器通过长直圆柱形电阻R放电。试讨论： (1)电容C和电阻R中坡印廷矢量的分布： (2)单位时间通过电容器C和电阻R的电磁能量：
即： 得： 或 （2） 为消去 E，（1）式对 t 求偏导数， 即 ： （3） （2）式对 z 求偏导数，即 ， 得： （4） （3）（4）式消去 可 得： （5） 与此类同， 和 ，消去 B 可得： （6） 由此所得（5）（6）式为电磁波磁场和电场的偏微分方程形式，将它们与标准平面波波动方程 的动力学方程 比较可得，电场与磁场的电磁波波速 u 均为 （光 速）。 【例 18-2】一 RC 电路的尺寸如图所示，t=0 时，圆形平行板电容器 C 上的电量为 ， 此时合上开关 K，电容器通过长直圆柱形电阻 R 放电。试讨论： （1）电容 C 和电阻 R 中坡印廷矢量的分布； （2）单位时间通过电容器 C 和电阻 R 的电磁能量；
【解】(1)RC放电电路中，极板上的电量随时间的变化规 律： e=ge品 电容器内离轴线r处的电场强度巴，磁场强度只：以及坡印 廷矢量”：分别为： 边图18-2别 S.EH 三者关系如图b所示。 电阻中的电场强度巴：，磁场强度臣以及坡印廷矢量“分 别为： 8=0=p 题图18-2h Sx=ExHi= 三者方向如图c所示。 (2)电容边界处”=个时，坡印廷矢量 图182e 8=267R℃9 电容器此时输出功率： -aw20= 若从另一个角度看，t时刻电容器的储能
【解】（1）RC 放电电路中，极板上的电量随时间的变化规 律： 电容器内离轴线 r 处的电场强度 ，磁场强度 以及坡印 廷矢量 分别为： 三者关系如图 b 所示。 电阻中的电场强度 ，磁场强度 以及坡印廷矢量 分 别为： 三者方向如图 c 所示。 （2）电容边界处 时，坡印廷矢量 电容器此时输出功率： 若从另一个角度看，t 时刻电容器的储能
既品影 电容器放电时，电容容能量的随时间的改变 可见电容器能量的减少是通过坡印廷矢量了=豆×户的电磁 场能量辐射出去的。对电阻而言，在电阻表面r=a处坡印廷 矢量 贵 90 电阻吸收的功率： 9 w==22C72a/。 = e 改从另一角度看，t时刻流过电阻上的电流，即电容放电电流 RC 电阻上消耗的功率 可见电阻上消耗的功率是有坡印廷矢量输入的，即电磁场的 形式输入的。 dw 比较电容器单位时间释放的能量和电阻上消耗的功率 B正好相等，这说明了每一解间电容器储能的减少及电阻上 消耗的功率都是通过电磁场来传输的。 号【例18-3】如图18-3a所示，在磁感应强度为的稳恒磁场中，放置一充电量为 士的平行板电容器，板间距为。者在电容器两极板上搁置一金属棒，并保持良好接触。 可作无摩掾滑动，试求电容器上放电完毕时：
电容器放电时，电容容能量的随时间的改变 可见电容器能量的减少是通过坡印廷矢量 的电磁 场能量辐射出去的。对电阻而言，在电阻表面 r=a 处坡印廷 矢量 电阻吸收的功率： 改从另一角度看，t 时刻流过电阻上的电流，即电容放电电流 电阻上消耗的功率 可见电阻上消耗的功率是有坡印廷矢量输入的，即电磁场的 形式输入的。 比较电容器单位时间释放的能量 和电阻上消耗的功率 正好相等，这说明了每一瞬间电容器储能的减少及电阻上 消耗的功率都是通过电磁场来传输的。 【例 18-3】如图 18-3a 所示，在磁感应强度为 的稳恒磁场中，放置一充电量为 的平行板电容器，板间距为 。若在电容器两极板上搁置一金属棒，并保持良好接触， 可作无摩擦滑动，试求电容器上放电完毕时：
(1)金属棒获得的机械动量： (2)电容器中电磁动量的改变。 。。 +下 · dfa· .8图183. 退图18-3b Q···· 题阁18-3c 【解】本题讨论机械能量、动量和电磁能量、动量之间的转换。 (1)由于金属棒的电阻很小，放电过程的时间常数很小，金属棒在放电过程中受到如图b所 示的安培力作用，由静止开始运动，在短暂的放电过程结束时，金属棒获得一定的动量。 设解时放电电流为I,金属棒受到的安培力 FEIB 根据动量原理 P=Fd=J iBdt 电容器上电量随时间减少，即为金属棒中放电电流 dt 将1代入上式，当电容器放电完毕时，金属棒获得机械动量 p=-∫Bdg=Bgo ，方向向右。 (2)放电前，电容器中有稳定的电场和磁场，如图℃所示，其能流密度，即坡印廷矢量 5=豆×疗。电愁场能流作闭合循环，由右端流出，由左端流入，电容器中电磁能与电磁动量 保持不变。据电磁能量密度 C
（1）金属棒获得的机械动量； （2）电容器中电磁动量的改变。 dfa 【解】本题讨论机械能量、动量和电磁能量、动量之间的转换。 （1）由于金属棒的电阻很小，放电过程的时间常数很小，金属棒在放电过程中受到如图 b 所 示的安培力作用，由静止开始运动，在短暂的放电过程结束时，金属棒获得一定的动量。 设瞬时放电电流为 I，金属棒受到的安培力 根据动量原理 电容器上电量随时间减少，即为金属棒中放电电流 将 I 代入上式，当电容器放电完毕时，金属棒获得机械动量 ，方向向右。 （2）放电前，电容器中有稳定的电场和磁场，如图 c 所示，其能流密度，即坡印廷矢量 。电磁场能流作闭合循环，由右端流出，由左端流入，电容器中电磁能与电磁动量 保持不变。据电磁能量密度
电容器中电磁动量量值 p=g=8 1 c= 式中： o0, 代入上式得卫=80。 可见电容器中的电磁动量通过磁场对放电电流的作用传给金属棒，转变为机械动量。在放电过 程中机械动量和电磁动量相互转换且守恒。 号【例18-4】如图184妇所示，圆柱形电容暑，它的长远大于内外极板半径a和b,开 始电容器带电Q,静止于可以自由转动的对称轴上，在电容器所在区域内有一磁感应强度均匀 为B的磁场，B的方向平行于轴线向上。某时刻开始，让电容器两极板通过电阻为R的导线放 电，放电电流在磁场中受安培力的作用，电容器加速旋转起来，求电容器最终能到达多大的 角速度？（已知电容器的转动惯量为J),试问这是否违反角动量守恒定律？
电容器中电磁动量量值 式中： ， ， 代入上式得 。 可见电容器中的电磁动量通过磁场对放电电流的作用传给金属棒，转变为机械动量。在放电过 程中机械动量和电磁动量相互转换且守恒。 【例 18-4】如图 18-4a 所示，圆柱形电容器，它的长 远大于内外极板半径 a 和 b，开 始电容器带电 Q，静止于可以自由转动的对称轴上，在电容器所在区域内有一磁感应强度均匀 为 B 的磁场，B 的方向平行于轴线向上。某时刻开始，让电容器两极板通过电阻为 R 的导线放 电，放电电流在磁场中受安培力的作用，电容器加速旋转起来，求电容器最终能到达多大的 角速度？（已知电容器的转动惯量为 J），试问这是否违反角动量守恒定律？
【解】设电容径向放电电流，电容器受到的转动磁力矩： M=frd=['r.Bidr =26-a)1=-号86-ar 即 jh-月802-的由-0-ae (1) M dt=Jo 由角动量原理：。 m=86-a9 得 2J 从表面来看系统开始没有角动量，磁力矩也没有反作用力矩， 系统似乎违反角动量守恒定律。事实上，电容器未放电之前，电容内 电磁场本身己具有质量和动量及对称轴的角动量。电容器在放电前的 应、京、S如图b所示。 图1 电磁场的动量密度： H = 圆柱形电容器在放电前的场强： 2x气”2π岛 在体积护=20内总电磁场的动量对电容器转轴的动量矩 =g=2r=2s62o 5! c2= 1 注意到光速 ,所以开始时系统电磁场对转轴具有的总角动 图2 量： i-jeat=3e862-a2） 与(1)式的结果相一致，所以系统仍满足角动量守恒
【解】设电容径向放电电流 ，电容器受到的转动磁力矩： 即： （1） 由角动量原理： 得： 从表面来看系统开始没有角动量，磁力矩也没有反作用力矩， 系统似乎违反角动量守恒定律。事实上，电容器未放电之前，电容内 电磁场本身已具有质量和动量及对称轴的角动量。电容器在放电前的 如图 b 所示。 电磁场的动量密度： 圆柱形电容器在放电前的场强： 在体积 内总电磁场的动量对电容器转轴的动量矩： 注意到光速 ，所以开始时系统电磁场对转轴具有的总角动 量： 与（1）式的结果相一致，所以系统仍满足角动量守恒
第18章电磁波 5 18.1已知电磁波在空气中的波速为3.0×10州/,试计算下列各种频率的电磁 波在空气中的波长： （1)上海人民广播电台使用的一种频率v=990k2, (2)我国第一颗人造地球卫星播放东方红乐曲使用的无限电波的频幸V=20009M位， (3)上海电视台八频道使用的图象载波频率V=184.25M化。 9 18.5 一电台辐射电磁波，若电磁波的能流均匀分布在以电台为球心的球面上，功 率为10矿。求离电台10处电做波的坡印廷矢量和电场分量的幅值。 号18.6真空中沿x正方向传播的平面余法波，其磁场分量的波长为，幅值为 。在0时刻的波形如图所示 (1)写出磁场分量的波动方程： (2)写出电场分量的波动方程，并在图中画出t=0时刻的电场分量波形： (3)计算t0时，x0处的坡印廷矢量。 77☑ 题18.6图 号18.7图日为一LC电路，C为圆形平行板电容器，L为长直螺线管，图b及图c分 别表示电容器放电时平行板电容器的电场分布和螺线管内的磁场分布。 (1)在图b内画出电容器内部的磁场分布和坡印廷矢量分布。 (2)在图c内画出电容器内部的电场分布和坡印廷矢量分布
第 18 章 电磁波 18.1 已知电磁波在空气中的波速为 ，试计算下列各种频率的电磁 波在空气中的波长： （1）上海人民广播电台使用的一种频率 ； （2）我国第一颗人造地球卫星播放东方红乐曲使用的无限电波的频率 ； （3）上海电视台八频道使用的图象载波频率 。 18.5 一电台辐射电磁波，若电磁波的能流均匀分布在以电台为球心的球面上，功 率为 。求离电台 10km 处电磁波的坡印廷矢量和电场分量的幅值。 18.6 真空中沿 x 正方向传播的平面余弦波，其磁场分量的波长为 ，幅值为 。在 t=0 时刻的波形如图所示。 （1）写出磁场分量的波动方程； （2）写出电场分量的波动方程，并在图中画出 t=0 时刻的电场分量波形； （3）计算 t=0 时，x=0 处的坡印廷矢量。 18.7 图 a 为一 LC 电路，C 为圆形平行板电容器，L 为长直螺线管，图 b 及图 c 分 别表示电容器放电时平行板电容器的电场分布和螺线管内的磁场分布。 （1）在图 b 内画出电容器内部的磁场分布和坡印廷矢量分布。 （2）在图 c 内画出电容器内部的电场分布和坡印廷矢量分布
