涂湾洁，张广铭：一维量子白旋链中拓扑有序态的物理描述 系中，研究的基本对象是原子，而原子的自旋由核自 相同的传统看法。在本节中，我们将从低能有效场 旋与外层电子自旋耦合得到 般均大于1/2。在光 论和Lieb-Schultz-Mattis定理两个角度回顾这一著名 格中 原子的自旋自由度将完全被释放出来， 因此为 的Haldane猜想。 品格中的超冷原子体系是 一个高度可控的大自旋量了 对于量子自旋系统，构造其路径积分量子化方案 关联系统，为研究大自旋量子多体系统中的新奇物态 需要利用所谓的自旋相干态表示。自旋相干态)由 提供了舞台。 单位失量0 (sin cos ,它 在本文中，我们首先简要回顾了人们在 一 新过 KLT模型、矩 s.nl)=sp〉 1) 其次，我们构造了新 类的SO(n)对称的 自旋相干态满足超完备关系 格可解量子自旋链模型及其矩阵乘积基态。 数n>3时，体系的基态处于超越了传统AKLT模型框 架的Haldane相。我们抓住这类态中包含的稀薄反铁 2出∫m间-1 磁序这一重要信息，给出刻画这类态的非局域弦序参 其中dn=sin0d0dp.这一超完备关系可用来构造自 量，并进一步用隐藏的拓扑对称性来解释了Haldane能 旋系统的路径积分量子化方案。在周期性边界条 隙、隐藏的稀薄反铁磁序以及开放边界条件下的基 件下，包含偶数格点的一维自旋S的量子反铁磁海森 态简并等奇特致的起源。在偶影>4时，体系的 基态为二聚化态。虽然这些态属于破缺平移对称性的 堡模型为 非Haldane相 但同样具有隐藏的反铁磁序。 H=J∑S·S+1 (3) 通过格结 对称的双线 我们发现当n≥ 其中，J>0,其配分函数可写作虚时下的自旋相干态路 SO()对称的反铁磁海森堡模型的基态处于 聚 径积分 化相中，纠正了以前其他研究组得出的错误结论。 然后，我们给出了构造一维平移不变VBS态的一般方 Z=(-A) (4④ 法，许利用矩阵乘积态表示过论了试些VBS态对应的 哈密而措的一船方法。对干自旋为的品子效数自 旋链，我们研究了两类由拓扑性质所区分的VBS类 A=is∑0l+Jsd∑01间 其中前一类VBS态的边缘态处于2自旋的不可 类VBS态的边缘态为SC 1旋 其中B=1/T,作用量A中的第一项为By相，第二项 般的李群的拉 我们推 了s0 为通常的能量泛函。 个量子化方 包括玻色 型和费 两类 还尝试 案 它是自旋在 上从虚时 =0时刻的 3时刻走过 的闭合回路所包 时这些VBS态的拓扑刻画方式，最后我们对全文进 围的立体角（见图1），从而2可写作 行了总结，并对未来的工作进行了展望。 dr(1-cos0(r)(r） (6) Ⅱ.一维量子自旋链体系概述 上述一维量子反铁磁海森堡模型的配分函数和价 A.Haldane猜想 用量虽然是严格的表达式，然而配分函数中的泛函积 分却无法求解，因此需要用近似方法，在长波极限 1.一维反铁磁海森堡模型的低能有效理论 得到这个体系的低能有效理论。根据Vilson重整化的 思想，我们肖先需要将体系中“高能”的快变量和“低 通过自旋相干态路径积分的方法，Haldane在1g83 能”的慢变量区分开来，然后积掉“高能”的快变量， 年提出了一维量子反铁磁自旋的物理性质取决于自 得到描述慢变量的低能有效理论。在 维子后圆 旋是整数或半奇整数这一惊人结论，改变了人们认为 海森经模型中，由于很强的量子森落，反铁磁长程序 自旋S的量子反铁磁海森堡模型与自旋1/2情形 定性 不能真正形成，但是我们仍然 待在 品格尺上 1004.201gchi al Electronic Publishing www.cnki.ne 涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 3 系中，研究的基本对象是原子，而原子的自旋由核自 旋与外层电子自旋耦合得到，一般均大于1/2。在光晶 格中，原子的自旋自由度将完全被释放出来， 因此光 晶格中的超冷原子体系是一个高度可控的大自旋量子 关联系统，为研究大自旋量子多体系统中的新奇物态 提供了舞台。 在本文中，我们首先简要回顾了人们在一维 量 子 自 旋 链 的 研 究 中 发 展 的 一 些 理 论 与 方 法， 包括Haldane猜想、VBS态与AKLT模型、矩阵乘积 态； 其次，我们构造了新一类的SO(n)对称的严 格可解量子自旋链模型及其矩阵乘积基态。在奇 数n ≥ 3时，体系的基态处于超越了传统AKLT模型框 架的Haldane相。我们抓住这类态中包含的稀薄反铁 磁序这一重要信息，给出刻画这类态的非局域弦序参 量，并进一步用隐藏的拓扑对称性来解释了Haldane能 隙、 隐藏的稀薄反铁磁序以及开放边界条件下的基 态简并等奇特现象的起源。在偶数n ≥ 4时，体系的 基态为二聚化态。虽然这些态属于破缺平移对称性的 非Haldane相，但同样具有隐藏的反铁磁序。 在这一 部分，我们还研究了一维SO(n)对称的双线性–双二次 模型的基态相图。通过严格结果，我们发现当n ≥ 5时 一维SO(n)对称的反铁磁海森堡模型的基态处于二聚 化相中，纠正了以前其他研究组得出的错误结论。 然后，我们给出了构造一维平移不变VBS态的一般方 法，并利用矩阵乘积态表示讨论了这些VBS态对应的 哈密顿量的一般方法。 对于自旋为S的量子整数自 旋链，我们研究了两类由拓扑性质所区分的VBS类， 其中前一类VBS态的边缘态处于SU(2)自旋J的不可 约表示，后一类VBS态的边缘态为SO(2S + 1)旋量。 作为更一般的李群G的范例，我们推广了SO(5)对称 的VBS态，包括玻色型和费米型两类，还尝试性的探 讨了这些VBS态的拓扑刻画方式。 最后我们对全文进 行了总结，并对未来的工作进行了展望。 II. 一维量子自旋链体系概述 A. Haldane猜想 1. 一维反铁磁海森堡模型的低能有效理论 通过自旋相干态路径积分的方法，Haldane在1983 年提出了一维量子反铁磁自旋链的物理性质取决于自 旋是整数或半奇整数这一惊人结论，改变了人们认为 自旋S的量子反铁磁海森堡模型与自旋1/2情形定性 相同的传统看法。 在本节中，我们将从低能有效场 论和Lieb-Schultz-Mattis定理两个角度回顾这一著名 的Haldane猜想。 对于量子自旋系统，构造其路径积分量子化方案 需要利用所谓的自旋相干态表示。自旋相干态 ¯ ¯ ¯ Ωˆ E 由 单位矢量Ω = (sin ˆ θ cos ϕ,sin θ sin ϕ, cos θ)来标记，它 是自旋算符在S 2单位球(θ, ϕ)方向上的最大极化态 S · Ωˆ ¯ ¯ ¯ Ωˆ E = S ¯ ¯ ¯ Ωˆ E (1) 自旋相干态满足超完备关系 2S + 1 4π Z dΩˆ ¯ ¯ ¯ Ωˆ E DΩˆ ¯ ¯ ¯ = I (2) 其中dΩ = sin ˆ θdθdϕ。这一超完备关系可用来构造自 旋系统的路径积分量子化方案[11]。 在周期性边界条 件下，包含偶数格点的一维自旋S的量子反铁磁海森 堡模型为 H = J X i Si · Si+1 (3) 其中J > 0，其配分函数可写作虚时下的自旋相干态路 径积分 Z = Z DΩ exp( ˆ −A) (4) A = iSX i ω[Ωˆ i ] + JS2 Z β 0 dτ X i Ωˆ i · Ωˆ i+1 (5) 其中β = 1/T，作用量A中的第一项为Berry相，第二项 为通常的能量泛函。 在自旋相干态路径积分量子化方 案中，Berry相具有明确的几何含义，它是自旋在S 2球 上从虚时τ = 0时刻到τ = β时刻走过的闭合回路所包 围的立体角（见图1），从而ω[Ω] ˆ 可写作 ω[Ω] = ˆ Z β 0 dτ (1 − cos θ(τ )) ˙ϕ(τ ) (6) 上述一维量子反铁磁海森堡模型的配分函数和作 用量虽然是严格的表达式，然而配分函数中的泛函积 分却无法求解， 因此需要用近似方法，在长波极限下 得到这个体系的低能有效理论。 根据Wilson重整化的 思想，我们首先需要将体系中“高能”的快变量和“低 能”的慢变量区分开来，然后积掉“高能”的快变量， 得到描述慢变量的低能有效理论。在一维量子反铁磁 海森堡模型中，由于很强的量子涨落，反铁磁长程序 不能真正形成，但是我们仍然可以期待在晶格尺度上