涂湾洁，张广铭：一一维量子白旋链中拓扑有序态的物理描述 型以。该模型是一个有能隙的可积场论31 S2sphere 能隙△e-2/ ,n场之间的关联函数在长距 下呈指数形式衰减。因此，低能有效理论的方法 给出了惊人的预言： 一维整数自旋的量子反铁 磁海森堡模型具有有限能隙，自旋-自旋两点关 联函数在长距离下呈指数形式衰减： 2.半奇整数自旋：由于exp-i2xSQ(a】=士1，拓 扑项以(-1)P的形式进入配分函数，该项对自旋 洗落场各拓扑不等价的轨迹发生干涉，此时 体系的有效作用量A:在量子场论领域被称为 带有拓扑顶8=的1+1维O(3非线性σ模型 人们对这个模型的认识比不含拓扑项的情形要 少得多，但大家普遍认为拓扑项的存在会 阳十去聚气在桶保中的风在自长 拓扑项的 纸能下流向属于SU 2)1的 有知程的反铁磁关联，从而可将2，分成慢变的反铁磁 m共形场论普适类的重整化群不 点 ,该共形场论恰好被认为是自旋1/2 涨落场元，和快变的铁磁涨落场，两部分 子反铁磁海森堡模型的低能有效场论。这 =(-1元1-2+ 现暗示了所有的半奇整数自旋S>1/2的量了 (7) 反铁磁海森堡橙型与自旋12情形处干同一普括 其中=1，元和满足约束元·i=0。将上式代 类：体系处于量子临界状态，激发无能隙，自 入(5)式中的作用量A并展开至各场量的二阶项，利用 旋-自旋两点关联函数在长距离下呈幂率衰减。 高断积分将快弯的铁做涨落积掉 在将晶格连续化 后，我们得到如下低能有效作用量 2.Lieb-Schultz-Mattis定理 在 一节中 根据自旋S为半奇整数和整数 维量子反铁磁海森堡自旋链在长波极限下分别被映射 8 到包含和不包含拓扑项的1+1维O(3)非线性σ模型 其中自旋波速度知=2JS,耦合常数g=2/5,有效作 说明它1分别属于不同的普话类。为讲一步理解这两 用量Aa中的第一项为拓扑项 个善话类之间的风别。A田eck和Lieb推广了Lieh等人 Q(词=drd证i:(a,i×a (9) 在自旋1/2体系中证明的Lieb-Schult-attis定理18 他们指出：对于一维且右半奇整数自的哈 在周期边界条件下，Q(列是一个整数，这个拓扑数代 平移不变和自旋旋转不变的情 如果体系 表了矢量的轨迹爱盖单位球S2的次数，拓扑等价 的基态无简并，则 存 无能隙白 的轨迹均具有相同的拓扑数。利用这一性质，一维量 维量子自旋系统中 子反铁磁海堡模刑的配分函数可以看做对自 后的Licb-Schultz-Matt 定理为 半奇整数目 涨落场n的所有拓扑不等价的构型求和 由于拓扑 旋休系的Haldane猜想做了非常必要的补充，下面我们 奇整数自旋S的 简要回顺这一定理。 的低能行为 不失一般性，考虑周期性边界条件下包含N个格 立刻引出著名的Haldane猜想， 点(N为偶数)海森堡自旋链，假设其基态为哑0， 先定义如下“扭曲” 算符(wist operator): 1.整数自旋：由于ep[-2xSQ( 中的拓项 以能忽略，此 效作用量A 量子场论中所熟知的1+1维0(3)非线性 0=ep(i下 =1 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.ne4 涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 * 3 - 20/.1. , 图 1. 自旋矢量在虚时闭合回路中的Berry相示意图。在自旋 相干态表示下，Berry相等价于S 2单位球上的立体角。 有短程的反铁磁关联，从而可将Ωˆ i分成慢变的反铁磁 涨落场~ni 和快变的铁磁涨落场L~ i两部分 Ωˆ i = (−1)i ~ni r 1 − a 2 S2 L~ 2 i + a S L~ i (7) 其中~n2 i = 1，~ni和L~ i满足约束~ni · L~ i = 0。将上式代 入(5)式中的作用量A并展开至各场量的二阶项，利用 高斯积分将快变的铁磁涨落L积掉， 在将晶格连续化 后，我们得到如下低能有效作用量 Aeff = i2πSQ(~n) + 1 2g Z dτ dx[ 1 v (∂τ ~n) 2 + v(∂x~n) 2 ] (8) 其中自旋波速度v = 2JS，耦合常数g = 2/S，有效作 用量Aeff中的第一项为拓扑项 Q(~n) = 1 4π Z dτ dx ~n · (∂τ ~n × ∂x~n) (9) 在周期边界条件下，Q(~n)是一个整数，这个拓扑数代 表了矢量~n的轨迹覆盖单位球S 2的次数， 拓扑等价 的轨迹均具有相同的拓扑数。利用这一性质，一维量 子反铁磁海森堡模型的配分函数Z可以看做对自旋 涨落场n的 所有拓扑不等价的构型求和。 由于拓扑 项Q(~n)为整数，整数自旋S和半奇整数自旋S的一维反 铁磁海森堡自旋链将呈现非常不同的低能行为，从而 立刻引出著名的Haldane猜想： 1. 整数自旋: 由于exp[−i2πSQ(~n)] = 1，配分函数 中的拓扑项可以被忽略，此时有效作用量Aeff为 量子场论中所熟知的1 + 1维O(3)非线性σ模 型[12]。 该模型是一个有能隙的可积场论[13,14]， 能隙∆ ∼ e −2π/g，n场之间的关联函数在长距离 下呈指数形式衰减。因此，低能有效理论的方法 给出了惊人的预言： 一维整数自旋的量子反铁 磁海森堡模型具有有限能隙，自旋–自旋两点关 联函数在长距离下呈指数形式衰减。 2. 半奇整数自旋: 由于exp[−i2πSQ(~n)] = ±1，拓 扑项以(−1)Q的形式进入配分函数，该项对自旋 涨落场~n各拓扑不等价的轨迹发生干涉， 此时 体系的有效作用量Aeff在量子场论领域被称为 带有拓扑项θ = π的1 + 1维O(3)非线性σ模型。 人们对这个模型的认识比不含拓扑项的情形要 少得多，但大家普遍认为拓扑项的存在会产生 重要的非微扰效应。一些研究表明， 拓扑项的 存在使得体系在低能下流向属于SU(2)1的Wess￾Zumino-Witten共形场论普适类的重整化群不动 点[15,16,17]，该共形场论恰好被认为是自旋1/2量 子反铁磁海森堡模型的低能有效场论。 这一发 现暗示了所有的半奇整数自旋S > 1/2的量子 反铁磁海森堡模型与自旋1/2情形处于同一普适 类： 体系处于量子临界状态，激发无能隙，自 旋–自旋两点关联函数在长距离下呈幂率衰减。 2. Lieb-Schultz-Mattis定理 在上一节中，根据自旋S为半奇整数和整数， 一 维量子反铁磁海森堡自旋链在长波极限下分别被映射 到包含和不包含拓扑项的1 + 1维O(3)非线性σ模型， 说明它们分别属于不同的普适类。 为进一步理解这两 个普适类之间的区别，Affleck和Lieb推广了Lieb等人 在自旋1/2体系中证明的Lieb-Schultz-Mattis定理[18]， 他们指出[19]：对于一维具有半奇整数自旋的哈密顿 量，在平移不变和自旋旋转不变的情形下， 如果体系 的基态无简并，则基态之上一定存在无能隙的激发。 作为一维量子自旋系统中一条重要的严格定性定理， 推广后的Lieb-Schultz-Mattis定理为一维半奇整数自 旋体系的Haldane猜想做了非常必要的补充，下面我们 简要回顾这一定理。 不失一般性，考虑周期性边界条件下包含N个格 点（N为偶数）海森堡自旋链，假设其基态为|Ψ0i，首 先定义如下“扭曲”算符(twist operator)： O = exp(i 2π N X N j=1 jSz j ) (10)