涂湾洁，张广铭：一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描还 并得到“扭曲”后的态(twisted state) 该命题的证明需要利用自旋算符的如下等式 Ψ1》=O|亚o) (11】 Lieb-Schulz-Mattis?定理包含如下两个命题 eios'ste-is=S=cos0-Ssin0 (13) 命题2.1在热力学极限下，亚，》的能量与基态能 eis"Sve-is*=Ssin+S cos0 14 的差趋于0： 利用上述等式，将“扭曲”后的态作为变分态，该变分 m【lH)-E一0 (12) 态能量与真实基态能量的差可计算 ,H=a0H01o）=maH+Jm装-立(alsy1+sysg,o+0/W 这意味者“扭曲”后的态具有非常小的激发能，在热力对于整数自旋和半奇整数自腹，我们有 学极恩下激发能趋于0，从而Lieb-Schultz-Mattis定理 第一个命题得证。 (19) 命题2.2当且仅当S为半奇整数时，便)与基 态亚o)正交： 将(17)式、(18)式和(19)式代入(17)式，可以发现对于 半奇整数自旋S有 (便o〉=0 (15) (业0|业1}=-（业。业）=0. (20) 一命题的证明可利用体系的平移不变性。平 三S,+1周期边界条件下 从而第二个命题得证，第二个命题为了说明虽然“扭 平移算符T与哈密顿量对易，有口，川=0，因此基 曲”后的态一般来说不是体系的本征态，但在半奇 态业》是平移算符的本征态 整数自旋的体系中它与基态正交，由激发态的线性 组合得到，不含有基态的成分。综合两个命题，Lieb TIo〉=eo) (6) Schultz-Mattis定理说明了在半奇整数自旋链中，若基 态无简并，则至少有一个激发态的激发能在热力学极 其中o为基态)的晶格动量。利用这一等式，便)与 限下趋于0，从而说明体系中存在无能隙的激发。 基态业)的交叠可表示为 (o里〉=(ol0o) B.基于投影算符的严格可解量子自旋链模型 =(WolTOT-1 |Wo) .Majumdar-Ghosh模型 利用平移算符T的定义可进一步约化 在前两节中，Haldane猜想和Lieb-Schultz 角度为 效场 体系的物 格定性定理的 性质提供 众所周知，严格可解模型通常能够为理解量 根据对称性的要求，无简并的基态须为转不变 关联系统的物理性质提供雅确的结论和清晰的图像 的自旋单态，则 在这一节中，我们将以自旋1/2的Majumdar--Ghosh模 型20.2为例来介绍基于投影算符构造严格可解模型 的方法。 在周期边界条件下，包含偶数格点N的Majumdar 1994-2019 China Academie Joun al Electronic Publishing All rights reserved http://www.cnki.net 涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 5 并得到“扭曲”后的态(twisted state)： |Ψ1i = O |Ψ0i (11) Lieb-Schultz-Mattis定理包含如下两个命题： 命题2.1 在热力学极限下，|Ψ1i的能量与基态能 的差趋于0： lim N→∞ [hΨ1| H |Ψ1i − E0] → 0 (12) 该命题的证明需要利用自旋算符的如下等式 e iθSz S x e −iθSz = S x cos θ − S y sin θ (13) e iθSz S y e −iθSz = S x sin θ + S y cos θ (14) 利用上述等式，将“扭曲”后的态作为变分态，该变分 态能量与真实基态能量的差可计算为 hΨ1| H |Ψ1i = hΨ0| O −1HO |Ψ0i = hΨ0| H |Ψ0i + J(cos 2π N − 1)X N j=1 hΨ0| S x j S x j+1 + S y j S y j+1 |Ψ0i ' E0 + O(1/N) 这意味着“扭曲”后的态具有非常小的激发能，在热力 学极限下激发能趋于0，从而Lieb-Schultz-Mattis定理 第一个命题得证。 命题2.2 当且仅当S为半奇整数时，|Ψ1i与基 态|Ψ0i正交： hΨ0 |Ψ1i = 0 (15) 这一命题的证明可利用体系的平移不变性。平 移算符T的定义为TSjT −1 ≡ Sj+1。周期边界条件下， 平移算符T与哈密顿量对易，有[T, H] = 0， 因此基 态|Ψ0i是平移算符的本征态 T |Ψ0i = e ik0 |Ψ0i (16) 其中k0为基态|Ψ0i的晶格动量。利用这一等式，|Ψ1i与 基态|Ψ0i的交叠可表示为 hΨ0 |Ψ1i = hΨ0| O |Ψ0i = hΨ0| T OT −1 |Ψ0i 利用平移算符T的定义可进一步约化 T OT −1 = O exp(i2πSz 1 ) exp(−i 2π N X N j=1 S z j ) (17) 根据对称性的要求，无简并的基态|Ψ0i须为旋转不变 的自旋单态，则 exp(−i 2π N X N j=1 S z j )|Ψ0i = |Ψ0i (18) 对于整数自旋和半奇整数自旋，我们有 exp(i2πSz 1 ) = ½ 1 S = 1, 2, . . . −1 S = 1/2, 3/2, . . . (19) 将(17)式、(18)式和(19)式代入(17)式，可以发现对于 半奇整数自旋S有 hΨ0 |Ψ1i = −hΨ0 |Ψ1i = 0. (20) 从而第二个命题得证。第二个命题为了说明虽然“扭 曲”后的态一般来说不是体系的本征态，但在半奇 整数自旋的体系中它与基态正交， 由激发态的线性 组合得到，不含有基态的成分。综合两个命题，Lieb￾Schultz-Mattis定理说明了在半奇整数自旋链中，若基 态无简并，则至少有一个激发态的激发能在热力学极 限下趋于0，从而说明体系中存在无能隙的激发。 B. 基于投影算符的严格可解量子自旋链模型 1. Majumdar-Ghosh模型 在 前 两 节 中， Haldane猜 想 和Lieb-Schultz￾Mattis定理分别从低能有效场论和严格定性定理的 角度为一维量子自旋体系的物理性质提供了重要的 信息。 众所周知，严格可解模型通常能够为理解量子 关联系统的物理性质提供准确的结论和清晰的图像。 在这一节中，我们将以自旋1/2的Majumdar-Ghosh模 型[20,21]为例来介绍基于投影算符构造严格可解模型 的方法。 在周期边界条件下，包含偶数格点N的Majumdar