涂湾洁，张广铭：一维量子白装链中拓扑有序态的物理描述 示，Majumndar-Ghosh哈密顿量的严格基态波函数可 以写作 图2 M棱型的二聚化荔制-o创和-) -）=Π(ak+4-aa4+w） -Ghosh哈密顿量为 在这两个波函数中，每两个近邻格点形成价键单态 hc=J∑(S·S+1+5·S+2+)(2) 它们构成一组平移对称性破缺的二聚化基态，示意图 见图2。 其中J>0.我们不妨先用二次量子化的Schwinger玻 为证明该二聚化基态是Majumdar-Ghosh模型的 色子表象来写出单个格点上的两个自1/2态 基态，不妨考虑三个相邻格点上自旋1/2之间的耦合 It)=ailv).I)=aflv) 22 585⑧与=0由1)@ 其中玻色子算符a和a分别产生向上和向下的 自旋1/2态，v)为真空态。利用Schwinger玻色子表 其中投影到总自旋为32通道的投影算符可以写作 B26-1,ii+1)=S-1+S+S+1)2--2S-1…S4+SS+1+S-1…S+1)+ 注意到Majumndar-Ghosh模型可以写作 2.Aflleck-Kennedy-Lieb-Tasaki模型 乃2-1，i,i+1) 借助于在上一节中构造Majumdar--Ghosh模型 (23)严格可解基态的思想，在本节中我们介绍A田eck Kenned-Iieh-Tasaki(AKIT)模型s.到，在一维量 由于J>0,Majumdar-Ghosh模型作为一个投影算 子整数自旋链体系中，A们T模型及其VS其态 符哈密顿量，其本征值恒大于等于0。在二聚化基态 为理解Haldane猜想提供了清晰的物理图像 中，由于每个格点总是与其近邻格点形成了价键单 构造AKLT模 型 首先需要 节中自 态，每三个近邻格点间的总自旋永远是自旋1/2，不可 旋1/2的Schwinger玻色子表示推广到任意自旋 能达到3/2.因此，图2中的二聚化态总是Majumdar Ghosh模型的零能量严格基态。 s+=afal,S-=afat.S=(afat -afal)(24) 在Majumdar-Ghosh模型中，次近邻的反铁磁自 旋交换对近邻格点的反铁磁交换起到阻挫作用，这 上述玻色子表示自动满足自旋算符的SU(2)李代数为 使得标准的自旋1/2反铁磁海森堡模型中自旋的代数 易关系S+,S-]=25”,[S,5]=±S±。为确保单 长程关联变成短程关联。在一聚化其态之上，体系 个格点的自旋大小为S,还需要加上一个约束条件 中的激发有能隙，能隙的产生来源于平移对称性破 缺，这也使得ajumdar-Ghosh模型中能隙的打开并 (25) 不违背Ⅱ.A.2节中讨论的Lieb-Schultz-Mattis定理 作为投影算符构造严格 这一玻色子数的约束条件确保每个格点上S2=SS+ 1).利用Schwinger玻色子，自旋为S的态可以对应到 1994-2019China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved. http:/www.cnki.ne6 涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 *-+ *,+ 图 2. Majumdar-Ghosh模型的二聚化基态|Ψ+i (a)和|Ψ−i (b). -Ghosh 哈密顿量为 HMG = J X N i=1 (Si · Si+1 + 1 2 Si · Si+2 + 3 8 ) (21) 其中J > 0。我们不妨先用二次量子化的Schwinger玻 色子表象来写出单个格点上的两个自旋1/2态： |↑i = a † ↑ |vi, |↓i = a † ↓ |vi (22) 其 中 玻 色 子 算 符a † ↑和a † ↓分 别 产 生 向 上 和 向 下 的 自旋1/2态，|vi为真空态。利用Schwinger玻色子表 示，Majumdar-Ghosh哈密顿量的严格基态波函数可 以写作 |Ψ+i = N/ Y 2 i=1 (a † 2i−1,↑ a † 2i,↓ − a † 2i−1,↓ a † 2i,↑ )|vi |Ψ−i = N/ Y 2 i=1 (a † 2i,↑ a † 2i+1,↓ − a † 2i,↓ a † 2i+1,↑ )|vi 在这两个波函数中，每两个近邻格点形成价键单态， 它们构成一组平移对称性破缺的二聚化基态，示意图 见图2。 为证明该二聚化基态是Majumdar-Ghosh模型的 基态，不妨考虑三个相邻格点上自旋1/2之间的耦合 1 2 ⊗ 1 2 ⊗ 1 2 = (0 ⊕ 1) ⊗ 1 2 = 1 2 ⊕ 1 2 ⊕ 3 2 其中投影到总自旋为3/2通道的投影算符可以写作 P3/2(i − 1, i, i + 1) = 1 3 (Si−1 + Si + Si+1) 2 − 1 4 = 2 3 (Si−1 · Si + Si · Si+1 + Si−1 · Si+1) + 1 2 注意到Majumdar-Ghosh模型可以写作 HMG = 3J 4 X N i=1 P3/2(i − 1, i, i + 1) (23) 由于J > 0，Majumdar-Ghosh模型作为一个投影算 符哈密顿量，其本征值恒大于等于0。 在二聚化基态 中，由于每个格点总是与其近邻格点形成了价键单 态，每三个近邻格点间的总自旋永远是自旋1/2，不可 能达到3/2。因此，图2中的二聚化态总是Majumdar￾Ghosh模型的零能量严格基态。 在Majumdar-Ghosh模型中，次近邻的反铁磁自 旋交换对近邻格点的反铁磁交换起到阻挫作用， 这 使得标准的自旋1/2反铁磁海森堡模型中自旋的代数 长程关联变成短程关联。 在二聚化基态之上，体系 中的激发有能隙，能隙的产生来源于平移对称性破 缺， 这也使得Majumdar-Ghosh模型中能隙的打开并 不违背 II. A. 2 节中讨论的Lieb-Schultz-Mattis定理。 作为投影算符构造严格可解哈密顿量的标准范式， Majumdar-Ghosh模型具有格外重要的意义。 2. Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki模型 借助于在上一节中构造Majumdar-Ghosh模型 严格可解基态的思想，在本节中我们介绍Affleck￾Kennedy-Lieb-Tasaki(AKLT)模 型[8,9]。 在 一 维 量 子 整 数 自 旋 链 体 系 中，AKLT模 型 及 其VBS基 态 为 理 解Haldane猜 想 提 供 了 清 晰 的 物 理 图 像。 为 了 构 造AKLT模 型， 首 先 需 要 将 上 一 节 中 自 旋1/2的Schwinger玻色子表示推广到任意自旋S S + = a † ↑ a↓, S− = a † ↓ a↑, Sz = 1 2 (a † ↑ a↑ − a † ↓ a↓) (24) 上述玻色子表示自动满足自旋算符的SU(2)李代数对 易关系[S +, S−] = 2S z，[S z , S±] = ±S ±。 为确保单 个格点的自旋大小为S，还需要加上一个约束条件 a † ↑ a↑ + a † ↓ a↓ = 2S (25) 这一玻色子数的约束条件确保每个格点上S 2 = S(S + 1)。利用Schwinger玻色子， 自旋为S的态可以对应到